曲線運(yùn)動(dòng)的發(fā)生條件

1、曲線運(yùn)動(dòng)曲直談,曲線運(yùn)動(dòng)要點(diǎn),一、曲線運(yùn)動(dòng)的發(fā)生條件,,,,F,,,,,,合外力方向與速度方向不在一直線,二、曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),速度方向一定變化,切向力改變速度大小法向力改變速度方向,v,,Fn,Ft,三、求解曲線運(yùn)動(dòng)問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)基本方法,矢量的合成與分解,微元法,,,曲線運(yùn)動(dòng)的加速度,質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度定義為,,,A,,,vB,,,,為求一般的做曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在任一點(diǎn)的瞬時(shí)加速度，通常將其分解為法向加速度an與切向加速度at．,,,,,O

2、,A點(diǎn)曲率圓,,,A點(diǎn)曲率圓半徑,,B,在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為v0，試求船在離岸邊s距離處時(shí)的速度與加速度的大小各為多少？,專題7-例1,依據(jù)實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果分解船的運(yùn)動(dòng)：,,,,v0,A,,,,,,,,,,,,v,vn,,h,,,,,s,,,,vt,船及與船相系的繩端A的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是水平向左的，這可看作是繩之A端一方面沿繩方向向“前方”滑輪處“收短”，同時(shí)以滑輪為圓心轉(zhuǎn)動(dòng)而成，即將實(shí)際速度v分解成沿繩

3、方向“收短”的分速度vn和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動(dòng)分速度vt;,,注意到繩子是不可伸長的，人收繩的速率v0也就是繩端A點(diǎn)沿繩方向移動(dòng)速率vn:,由圖示v、vt、vn矢量關(guān)系及位置的幾何關(guān)系易得：,求船的速度,續(xù)解,,,,求船的加速度,在一小段時(shí)間Δt內(nèi),船頭位置從A移A′，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度Δθ→0:,,,,,,,,,A,,,,v,v0,,,vt,,,v0,,讀題,,由加速度定義得：,,由幾何關(guān)系得：,,,,,,質(zhì)點(diǎn)沿圓周作速度大小、方向均

4、變化的運(yùn)動(dòng)．每個(gè)瞬時(shí)的加速度均可分解為切向加速度at與法向加速度an，前者反映質(zhì)點(diǎn)速率變化快慢，后者反映質(zhì)點(diǎn)速度方向變化快慢．,如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)由靜止開始沿半徑為R的圓周作速率均勻增大的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度與速度方向夾角為α，質(zhì)點(diǎn)通過的弧s所對(duì)的圓心角為β，試確定α與β間的關(guān)系．,專題7-例2,,,vA,a,A,O,,,,,β,,,s,,,,,,,,at,an,由題給條件,而,,,,,又,,如圖所示，質(zhì)點(diǎn)沿一圓周運(yùn)動(dòng)，過M點(diǎn)

5、時(shí)速度大小為v，作加速度矢量與圓相交成弦MA=l，試求此加速度的大小．,小試身手題1,將M點(diǎn)加速度沿切向與法向進(jìn)行分解!,,v,,a,M,A,l,O,,,,,at,an,法向加速度,,,,,,,,如圖所示，曲柄OA長40 cm，以等角速度ω=0.5rad/s繞O軸反時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)．由于曲柄的A端推動(dòng)水平板B而使滑桿C沿豎直方向上升，求當(dāng)曲柄與水平線夾角θ=30°時(shí)，滑桿C的加速度．,小試身手題2,桿A與B板接觸點(diǎn)有相同沿豎直方向

6、的加速度 !,桿上A點(diǎn)加速度,,,,,,,O,A,B,C,ω,,,,aA,,aAy,,aC,,此即滑桿C的加速度,代入數(shù)據(jù)得滑桿C的加速度,有一只狐貍以不變的速度v1沿著直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍．某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD＝L，如圖．試求此時(shí)獵犬的加速度的大小．,小試身手題3,設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)，v2方向變化Δθ, Δθ→0時(shí):,,,,F,L,A,B,D,,,,,,,由加速度定義，

7、獵犬 加速度,,賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛，在0.1 s內(nèi)速度由10.0m／s加大到10.5 m／s，那么該賽車在半徑為30 m的環(huán)形公路段行駛中，要達(dá)到同樣大的速度需要多少時(shí)間？當(dāng)環(huán)形公路段的半徑為多少時(shí)，賽車的速度就不可能增大到超過10 m/s？（公路的路面是水平的）,小試身手題4,直線加速時(shí)車的加速度 :,在環(huán)形公路上，法向加速度,切向加速度,,,,代入數(shù)據(jù),,當(dāng)軌道半徑令法向加速度大小等于a0:,,無切向加速度，

8、賽車速率不會(huì)增加,,,質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0．在運(yùn)動(dòng)過程中，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時(shí)間T質(zhì)點(diǎn)的速度v．,小試身手題6,設(shè)速率從v0增加,取運(yùn)動(dòng)過程中第i個(gè)極短時(shí)間Δti，由題意有,本題用微元法,,,,,,,若速率從v0減小, 有,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)槽的運(yùn)動(dòng)及與槽一起轉(zhuǎn)動(dòng)兩者之合運(yùn)動(dòng)．,如圖所示，圓盤半徑為R，以角速度ω繞盤心O轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)點(diǎn)沿徑向槽以恒定速度u自盤心向外運(yùn)動(dòng)，試求質(zhì)點(diǎn)的加速度．

9、,專題7-例3,,科里奧利加速度,,,A,O,本題討論中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)加速度的構(gòu)成,設(shè)某一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動(dòng)到與O相距r的位置A,,,,,B,A,,,,,經(jīng)Δt時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動(dòng)到與盤心O相距r+uΔt 的位置B ，盤轉(zhuǎn)過了角度ωΔt，故質(zhì)點(diǎn)實(shí)際應(yīng)在位置B′,,,,在Δt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿y方向速度增量為,在Δt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿x方向速度增量為,注意到Δt→0時(shí),,續(xù)解,讀題,,方向與x成,,牽連加速度,科里奧利加速度,矢量圖示,

10、,,,,中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)加速度的構(gòu)成,相對(duì)中介參考系的加速度,牽連加速度,,科里奧利加速度,由于參考系轉(zhuǎn)動(dòng)及質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，方向指向u沿ω方向轉(zhuǎn)過90°的方向,,,返回,試手,如圖所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以等角速度ω繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，某一點(diǎn)M以等相對(duì)速度沿AB邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)了一周時(shí)，M點(diǎn)走過了AB，如已知AB＝b，試求M點(diǎn)在A時(shí)的速度與加速度．,小試身手題5,求質(zhì)點(diǎn)的速度,,,O

11、,A,B,ω,,,,引入中介參照系-三角形OAB,質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸O的速度（相對(duì)速度）,三角形A點(diǎn)對(duì)軸的速度（牽連速度）,質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸O的速度（絕對(duì)速度）vM,,,vMA,,vA,三速度關(guān)系為,,,vM,,,方向與AB夾角,,續(xù)解,求質(zhì)點(diǎn)的加速度,相對(duì)中介參考系的加速度,牽連加速度,科里奧利加速度,,O,A,B,ω,,,,,aA,a科,,,aM,方向與AO夾角,,規(guī)律,曲線運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率,曲線的彎曲程度用曲率描述,,,曲線上某點(diǎn)的曲率定義為,,,,

12、,,圓周上各點(diǎn)曲率相同:,,,,,,,,曲線上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑為該點(diǎn)曲率倒數(shù)1/K的圓稱為曲率圓,該圓圓心稱曲線該點(diǎn)的曲率中心!,物理方法求曲率(半徑)示例1,用矢量分解法求橢圓長軸與短軸端點(diǎn)的曲率半徑,已知長半軸與短半軸為a和b.,專題7-例4,,,,,設(shè)質(zhì)點(diǎn)在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)在M1平面的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角,對(duì)橢圓長軸端的A點(diǎn):,,,,aA1,,,對(duì)A點(diǎn)投影A1點(diǎn):,,橢圓短軸端B點(diǎn)的

13、曲率半徑由,,v,,,v,,,,,,,,aA,v,aB,,aB,用運(yùn)動(dòng)分解法求拋物線上某點(diǎn)的曲率半徑.,專題7-例5,,p,,,,設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度v0做平拋運(yùn)動(dòng),平拋規(guī)律,消去t得,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)軌跡上的P點(diǎn):,式中,,,物理方法求曲率(半徑)示例2,拋物線上x=p/2點(diǎn),試手,旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同．試用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解曲率半徑ρ值．,小試身手題7,設(shè)物體以v0作勻速率的圓周運(yùn)動(dòng)、同時(shí)以vh沿

14、垂直于v0方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，每前進(jìn)一個(gè)螺距，完成一次圓周，即有,設(shè)螺旋線上任一點(diǎn)的曲率半徑為ρ,,,,,,,,,,h,,,r,平拋規(guī)律,受恒力作用,平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律,力與初速度垂直,軌跡為半支拋物線,勻變速曲線運(yùn)動(dòng),,,,,,◎物體在時(shí)刻t的位置,,,,,◎物體在時(shí)刻t的速度,,,,,,水平方向勻速運(yùn)動(dòng)與豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)的合成,返回,,,,,,,,,平拋初速大小不同,落在斜面上時(shí)速度方向相同!,變換坐標(biāo)描述平拋運(yùn)動(dòng),,,,,,v0,g

15、,,空中飛行時(shí)間,距斜面最大高度,沿斜面方向的勻加速運(yùn)動(dòng)與垂直斜面方向的上拋運(yùn)動(dòng)之合成!,,,O,θ,如果A、B都落在水平面上，則飛行時(shí)間相同，故,如果A、B都落在坡面上，則落坡時(shí)速度方向相同，,比值只能介于上兩值之間,,,,,,,如圖所示，在斜面上O點(diǎn)先后以v0和2v0的速度水平拋出A、B兩小球，則從拋出至第一次著地，兩小球的水平位移大小之比可能為 A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4

16、 D. 1∶5,拋體運(yùn)動(dòng)示例1,,,,如圖所示的排球場總長為18 m ，設(shè)球網(wǎng)高度為2 m ，運(yùn)動(dòng)員站在網(wǎng)前3 m線上正對(duì)球網(wǎng)跳起將球水平擊出．⑴若擊球點(diǎn)高度為2.5 m，則擊球的速度符合什么條件時(shí)，才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？⑵當(dāng)擊球點(diǎn)的高度小于多少時(shí)，無論水平擊球速度多大，球不是觸網(wǎng)就是出界？（g=10m/s2）,拋體運(yùn)動(dòng)示例2,,,⑴滿足條件的球平拋臨界軌跡如圖,⑵滿足條件的平拋球臨界高度如圖,,,,,H,,3m,,3m,,3m,,

17、,當(dāng)擊球點(diǎn)高度小于2.13m時(shí),球不是落網(wǎng)就是出界!,,3m,解：,如圖所示，小冰球從高為H的光滑坡頂由靜止開始下滑，這個(gè)坡的末端形如水平跳板．當(dāng)跳板高h(yuǎn)為何值時(shí)，冰球飛過的距離s最遠(yuǎn)？它等于多少？,,物體從坡末端B水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng):,由基本不等式性質(zhì),拋體運(yùn)動(dòng)示例3,以與水平地面成角α拋出一石子,要使石子在運(yùn)動(dòng)過程中始終遠(yuǎn)離拋石人,角α最大不能超過多少 ？,小試身手題8,當(dāng)石子運(yùn)動(dòng)的速度矢量與位移矢量垂直時(shí),石子距離拋出點(diǎn)最遠(yuǎn)!,

18、v0,,,,,vt,,此時(shí),,,x,y,,,,,石子做斜上拋運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律,此方程式無解時(shí)，必滿足,即要使石子始終遠(yuǎn)離拋石人而非達(dá)最遠(yuǎn)后又縮小距離,拋出角,,,兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以加速度g在均勻重力場中運(yùn)動(dòng)．開始時(shí)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于同一點(diǎn)，且其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有水平速度v1＝3.0 m／s；另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)水平速度v2＝4.0 m／s，方向與前者相反．求當(dāng)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度矢量相互垂直時(shí)，它們之間的距離．,小試身手題9,,當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)速度互相垂直時(shí)，速度矢量關(guān)系如圖示

19、:,,,,,,v1,vy,v1t,v2t,,v2,,vy,,,由矢量圖得,,如圖，一倉庫高25 m，寬40 m．今在倉庫前l(fā) m、高5 m的A處拋一石塊，使石塊拋過屋頂，問距離l為多大時(shí)，初速度v0之值最小？（g取10 m/s2）,小試身手題10,,,,,,,,h,,S,v0,,,,l,vB,A,,,,,,B,,過B點(diǎn)時(shí)速度方向與水平成45°時(shí)，可以最小的vB越過40m寬庫頂 !,,,從A到B豎直方向分運(yùn)動(dòng)有,從A到B水平方向

20、分運(yùn)動(dòng)有,,,木排,木排停泊在河上，到岸的距離L＝60 m．流水速度同離岸的距離成比例地增大，在岸邊u0=0，而在木排邊流速uL=2 m/s．小汽船離開岸駛向木排．船對(duì)水的速度v=7.2 km/h．問駕駛員在起航前應(yīng)該使船指向何方，使以后無須校正船速就能靠上與起航處正對(duì)面的木排？這時(shí)船航行多少時(shí)間？,小試身手題11,,V0=v,,流水速度為,船的合速度為,在岸邊船的合速度大小,V0=v,方向如示 !,,到中間時(shí)船合速度沿x方向!,,,v

21、,,u中,,V,,,V,v,,,uL,通過L的時(shí)間,,航線如 示,,如圖所示，一個(gè)完全彈性小球自由下落，經(jīng)5m碰到斜面上的A點(diǎn)．同時(shí)斜面正以V＝10m／s在水平面上作勻速運(yùn)動(dòng)，斜面與水平面的傾角為45°．問在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處，小球?qū)⑴c斜面發(fā)生第二次碰撞？,小試身手題12,球以v=10 m/s入射，與斜面的接近速度,,,v,,V,,,球與斜面的分離速度,,球從與斜面分離到再次碰撞歷時(shí),,,,,g,,注意到球沿斜面體方向初速度為零，加

22、速度gsin45°,球再與斜面碰撞處距A,,如圖所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡與水平面成角度α．他與水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距離為L，求其拋出時(shí)初速度v0及以此大小初速度拋出的石子在斜坡上可以達(dá)到的最大距離．,小試身手題13,,,,,,,,,,,,,,v0,g,,,,,石子沿山坡方向做勻加速運(yùn)動(dòng),石子沿垂直山坡方向做勻加速運(yùn)動(dòng),設(shè)拋出石子的仰角為β,,,,小球以恒定速度v沿水平面運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)墜落于半徑為r和深為Ｈ的

23、豎直圓柱形井中．小球速度v與過Ａ點(diǎn)井的直徑成α，俯視如圖．問v、H、r、α之間關(guān)系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”（不計(jì)摩擦）,小試身手題14,,,,,v,A,,,小球運(yùn)動(dòng)軌跡的俯視圖如示,,,,,,,小球兩次與壁相碰點(diǎn)間水平射程為,歷時(shí),從進(jìn)入至與底碰撞歷時(shí),為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”,(n、k均為正整數(shù)),小球在豎直方向作自由下落或碰底上拋至速度為零,小球在水平方向以v勻速運(yùn)動(dòng),

24、碰壁“反射”,如圖，一位網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場地上后彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對(duì)方場地Ａ處．第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在Ａ處．球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計(jì)，試求運(yùn)動(dòng)員擊球高度為網(wǎng)高的多少倍？,小試身手題15,設(shè)C點(diǎn)高度為h，由題意球1運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,由題意球2運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,∵水平射程相同,,,初速度為v0 的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．,小試身手題16,這個(gè)問題可

25、抽象為一個(gè)求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡(luò)線方程問題，包絡(luò)線以外即為安全區(qū)域．,如圖，在空間三維坐標(biāo)中，設(shè)初速度方向與xy平面成θ角，由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可建立時(shí)間t的三個(gè)參數(shù)方程,,,續(xù)解,這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程,此方程式有解時(shí)，必滿足,,包絡(luò)線方程為,這里我們運(yùn)用了曲線簇的包絡(luò)線的數(shù)學(xué)模型處理了一個(gè)有實(shí)際應(yīng)用背景的物理問題,整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程,讀題,機(jī)車以等速率v0沿直線軌道行駛．機(jī)車車輪半徑為r．如

26、車輪只滾動(dòng)不滑動(dòng)，將輪緣上的點(diǎn)M在軌道上的起點(diǎn)位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，并將軌道取為x軸，如圖所示，求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求當(dāng)M點(diǎn)所在的車輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度．,小試身手題17,M點(diǎn)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)——,與輪心相同的勻速運(yùn)動(dòng),,對(duì)輪心的勻速圓周運(yùn)動(dòng),,,,,,,,,,,,,,續(xù)解,M點(diǎn)的軌跡方程為,求軌跡方程：,,讀題,M點(diǎn)速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示,求軌跡的曲率半徑ρ：,,,,,,vM,,aM,at,,v0