一階系統(tǒng)時間響應

1、3.2 一階系統(tǒng)的時間響應,一階系統(tǒng)的數(shù)學模型一階系統(tǒng)的單位階躍響應一階系統(tǒng)的單位斜坡響應一階系統(tǒng)的單位脈沖響應線性定常系統(tǒng)時間響應的性質,3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學模型（1）,定義能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分母多項式中s的最高冪數(shù)為1的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型形式是慣性環(huán)節(jié)。數(shù)學模型一階系統(tǒng)的數(shù)學模型為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的一般形式為

2、 ，式中K為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。,3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）,系統(tǒng)框圖當K=1時，典型一階系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖及化簡形式如圖所示。,3.2.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應,給一階系統(tǒng)輸入單位階躍信號，根據(jù)一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，計算其拉氏反變換，求出微分方程的解c(t)，即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應。其實質就是根據(jù)已知條件（單位階躍信號），利用傳遞函數(shù)和拉氏反變換，求出輸出信號c(t)。

3、 因為輸入信號是單位階躍信號，所以 又因為 所以，輸出信號的拉氏變換為 查拉氏變換對照表得 此即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應。式中T稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)，具有時間量綱，是一階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，表征了系統(tǒng)過渡過程的品質，T越小，系統(tǒng)響應越快。,一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線,結論一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無振蕩。時間常數(shù)T可以定義為系統(tǒng)的響應時間達到穩(wěn)態(tài)值的

4、63.2％所需的時間。反之，可以用實驗的方法測出響應曲線達到穩(wěn)態(tài)值的63.2％高度時所需時間，即為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T。經過時間3T~4T，響應曲線已達到穩(wěn)態(tài)值的95 ％ ~98 ％，可認為其調整過程已經完成，故一般取調整時間ts=(3~4)T。在t=0時，響應曲線的切線斜率為1/T。時間常數(shù)決定于系統(tǒng)參數(shù)，與輸入信號無關。,3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應,因為輸入信號是單位斜坡函數(shù)，所以 又因為

5、所以，輸出信號的拉氏變換為 查拉氏變換對照表得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應為,一階系統(tǒng)的單位斜坡響應曲線,如圖所示，該響應系統(tǒng)存在誤差信號e(t)，誤差信號 當t→∞時， ，此時e(t)=T。 所以可得以下結論：當t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為時間常數(shù)T；時間常數(shù)T越小，該環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。,3.2.4 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應,因為輸入信號是單位

6、脈沖信號，所以 又 所以 對其進行拉氏反變換得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為 其時間響應曲線如右圖所示。,3.2.5 線性定常系統(tǒng)時間響應的性質（1）,單位階躍函數(shù)的定義為 單位脈沖函數(shù)的定義為 單位斜坡函數(shù)的定義為,現(xiàn)在對單位斜坡函數(shù)求導，得 即單位階躍函數(shù)是單位斜坡函數(shù)的導數(shù)。 對單位階躍函數(shù)求導，得

7、 即單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)。,現(xiàn)在分析三個典型輸入信號的時間響應。一階單位斜坡信號的時間響應為一階單位階躍信號的時間響應為 一階單位脈沖信號的時間響應為,顯然， 即單位階躍響應是單位斜坡響應的導數(shù)，單位脈沖響應是單位階躍響應的導數(shù)。,3.2.5 線性定常系統(tǒng)時間響應的性質（2）,由此可得出以下結論（線性定常系統(tǒng)重要特征）：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，可通過把系統(tǒng)對輸入信號響應求導得出