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文檔簡介
1、3.2 一階系統(tǒng)的時間響應,一階系統(tǒng)的數(shù)學模型一階系統(tǒng)的單位階躍響應一階系統(tǒng)的單位斜坡響應一階系統(tǒng)的單位脈沖響應線性定常系統(tǒng)時間響應的性質,3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學模型(1),定義能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分母多項式中s的最高冪數(shù)為1的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型形式是慣性環(huán)節(jié)。數(shù)學模型一階系統(tǒng)的數(shù)學模型為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的一般形式為
2、 ,式中K為放大系數(shù),T為時間常數(shù)。,3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學模型(2),系統(tǒng)框圖當K=1時,典型一階系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖及化簡形式如圖所示。,3.2.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應,給一階系統(tǒng)輸入單位階躍信號,根據(jù)一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù),計算其拉氏反變換,求出微分方程的解c(t),即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應。其實質就是根據(jù)已知條件(單位階躍信號),利用傳遞函數(shù)和拉氏反變換,求出輸出信號c(t)。
3、 因為輸入信號是單位階躍信號,所以 又因為 所以,輸出信號的拉氏變換為 查拉氏變換對照表得 此即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應。式中T稱為系統(tǒng)的時間常數(shù),具有時間量綱,是一階系統(tǒng)的重要特征參數(shù),表征了系統(tǒng)過渡過程的品質,T越小,系統(tǒng)響應越快。,一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線,結論一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的,無振蕩。時間常數(shù)T可以定義為系統(tǒng)的響應時間達到穩(wěn)態(tài)值的
4、63.2%所需的時間。反之,可以用實驗的方法測出響應曲線達到穩(wěn)態(tài)值的63.2%高度時所需時間,即為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T。經過時間3T~4T,響應曲線已達到穩(wěn)態(tài)值的95 % ~98 %,可認為其調整過程已經完成,故一般取調整時間ts=(3~4)T。在t=0時,響應曲線的切線斜率為1/T。時間常數(shù)決定于系統(tǒng)參數(shù),與輸入信號無關。,3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應,因為輸入信號是單位斜坡函數(shù),所以 又因為
5、所以,輸出信號的拉氏變換為 查拉氏變換對照表得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應為,一階系統(tǒng)的單位斜坡響應曲線,如圖所示,該響應系統(tǒng)存在誤差信號e(t),誤差信號 當t→∞時, ,此時e(t)=T。 所以可得以下結論:當t足夠大時,一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為時間常數(shù)T;時間常數(shù)T越小,該環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。,3.2.4 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應,因為輸入信號是單位
6、脈沖信號,所以 又 所以 對其進行拉氏反變換得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為 其時間響應曲線如右圖所示。,3.2.5 線性定常系統(tǒng)時間響應的性質(1),單位階躍函數(shù)的定義為 單位脈沖函數(shù)的定義為 單位斜坡函數(shù)的定義為,現(xiàn)在對單位斜坡函數(shù)求導,得 即單位階躍函數(shù)是單位斜坡函數(shù)的導數(shù)。 對單位階躍函數(shù)求導,得
7、 即單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)。,現(xiàn)在分析三個典型輸入信號的時間響應。一階單位斜坡信號的時間響應為一階單位階躍信號的時間響應為 一階單位脈沖信號的時間響應為,顯然, 即單位階躍響應是單位斜坡響應的導數(shù),單位脈沖響應是單位階躍響應的導數(shù)。,3.2.5 線性定常系統(tǒng)時間響應的性質(2),由此可得出以下結論(線性定常系統(tǒng)重要特征):系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應,可通過把系統(tǒng)對輸入信號響應求導得出
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