九年級數(shù)學競賽講座第二講 判別式 二次方程根的檢測器

1、第二講第二講判別式判別式——二次方程根的檢測器二次方程根的檢測器為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗鈔機，類似地，在解一元二次方程有關問題時，最好能知道根的特性：如是否有實數(shù)根，有幾個實數(shù)根，根的符號特點等我們形象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測器”，在以下方面有著廣泛的應用：利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性；運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；通

2、過判別式，證明與方程相關的代數(shù)問題；借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題【例題求解例題求解】【例1】已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍x0112)21(2?????xkxkk是(廣西中考題)思路點撥思路點撥利用判別式建立關于的不等式組，注意、的隱含制約kk21?1?k注：運用判別式解題，需要注意的是：(1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項系數(shù)不為0的隱含制約；(2)在解涉及

3、多個二次方程的問題時，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導下，綜合運用方程、不等式的知識【例2】已知三個關于的方程：，和，若其中至少y02???ayy012)1(2????yya012)2(2????yya有兩個方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是()aAB或CD2?a41?a21??x1?a141??a（山東省競賽題）思路點撥思路點撥“至少有兩個方程有實根”有多種情形，從分類討論人手，解關于的不等式組，綜合判斷選a擇【例3】已知關于的方程

4、，x02)2(2????kxkx(1)求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；k(2)若等腰三角形△ABC的一邊長＝1，另兩邊長、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長ab(湖北省荊門市中考題)思路點撥思路點撥對于(1)只需證明△≥0；對于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個與c相等兩種cb?bc情況討論，運用判別式、根的定義求出、的值bc注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設計的一個熱點，但不一定每個這類題均

5、有多解，還須結(jié)合三角形三邊關系定理予以取舍（2）運用根的判別式討論方程根的個數(shù)為人所熟悉，而組合多個判別式討論方程多個根(三個以上)是近年中考，競賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法5已知一直角三角形的三邊為、、，∠B＝90，那么關于的方程的根abcx0)1(2)1(22?????xbcxxa的情況為()A有兩個相等的實數(shù)根B沒有實數(shù)根C有兩個不相等的實數(shù)根D無法確定(河南省中考題)6如果關于的方程只有一個實

6、數(shù)根，那么方程的根x0)1(2)2(2?????mxmxm0)4()2(2?????mxmmx的情況是()A沒有實數(shù)根B有兩個不相等的實數(shù)根C有兩個相等的實數(shù)根D只有一個實數(shù)根(2003年河南省中考題)7在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、，已知，和是關于的abc3?abcx方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長02122????mmxx(濟南市中考題)8已知關于的方程x063)2(22?????mxmx(1)求證：無論m

7、取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；(2)如果方程的兩實根分別為、，滿足=3，求實數(shù)的值1x2x1x2xm(鹽城市中考題)9、為實數(shù)，關于的方程有三個不等的實數(shù)根abx22???baxx(1)求證：；0842???ba(2)若該方程的三個不等實根，恰為一個三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個內(nèi)角是60；(3)若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值ab(江蘇省蘇州市中考題)10關于的兩個方程，中至少有一個方程有實根，則m的取