利用導數(shù)求曲線地切線和公切線

1、實用標準文案文檔利用導數(shù)求曲線的切線和公切線利用導數(shù)求曲線的切線和公切線一.求切線方程求切線方程【例【例1】.已知曲線已知曲線f(x)=xf(x)=x32x2x21.1.(1)(1)求在點求在點P（1010）處的切線）處的切線l1的方程；的方程；(2)(2)求過點求過點Q（2121）與已知曲線）與已知曲線f(x)f(x)相切的直線相切的直線l2的方程的方程.提醒：注意是在某個點處還是過某個點！提醒：注意是在某個點處還是過某個點！二.有關

2、切線的條數(shù)有關切線的條數(shù)【例【例2】（】（20142014?北京）已知函數(shù)北京）已知函數(shù)f（x）=2x=2x3﹣3x3x（Ⅰ）求（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間）在區(qū)間[﹣2，1]1]上的最大值；上的最大值；（Ⅱ）若過點（Ⅱ）若過點P（1，t）存在）存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f（x）相切，求）相切，求t的取值范的取值范圍；圍；（Ⅲ）問過點（Ⅲ）問過點A（﹣（﹣1，2），），B（2，1010），），C（0，2）分別存在幾條直線與曲線）

3、分別存在幾條直線與曲線y=fy=f（x）相切？（只需寫出結論））相切？（只需寫出結論）【解答】解：（Ⅰ）由【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x=2x3﹣3x3x得f′（′（x）=6x=6x2﹣3，令f′（′（x）=0=0得，得，x=x=﹣或x=x=，∵f（﹣（﹣2）=﹣1010，f（﹣（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在區(qū)間）在區(qū)間[﹣2，1]1]上的最大值為上的最大值為（Ⅱ）設過點（Ⅱ）設過點P（1，t）的直線與曲線）的直

4、線與曲線y=fy=f（x）相切于點（）相切于點（x0，y0），），則y0=2=2﹣3x3x0，且切線斜率為，且切線斜率為k=6k=6﹣3，∴切線方程為∴切線方程為y﹣y0=（6﹣3）（）（x﹣x0），），∴t﹣y0=（6﹣3）（）（1﹣x0），即），即4﹣6t3=0t3=0，設，設g（x）=4x=4x3﹣6x6x2t3t3，則“過點則“過點P（1，t）存在）存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f（x）相切”，等價于“）相切”，等價于

5、“g（x）有）有3個不同的零點”∵個不同的零點”∵g′（′（x）=12x=12x2﹣12x=12x12x=12x（x﹣1），），∴g（0）=t3=t3是g（x）的極大值，）的極大值，g（1）=t1=t1是g（x）的極小值）的極小值∴g（0）＞）＞0且g（1）＜）＜0，即﹣，即﹣3＜t＜﹣＜﹣1，∴當過點過點∴當過點過點P（1，t）存在）存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f（x）相切時，）相切時，t的取值范圍的取值范圍是（﹣是（﹣3

6、，﹣，﹣1））（Ⅲ）過點（Ⅲ）過點A（﹣（﹣1，2）存在）存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f（x）相切；）相切；實用標準文案文檔根，根，方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條【作業(yè)【作業(yè)1】（】（20172017?莆田一模）已知函數(shù)莆田一模）已知函數(shù)f（x）=2x=2x3﹣3x13x1，g（x）=kx1=kx1﹣lnxlnx（1）設函數(shù)）設函數(shù)，當，當k＜0時，討論時，討

7、論h（x）零點的個數(shù)；）零點的個數(shù)；（2）若過點）若過點P（a，﹣，﹣4）恰有三條直線與曲線）恰有三條直線與曲線y=fy=f（x）相切，求）相切，求a的取值范的取值范圍圍三.切線與切線之間的關系切線與切線之間的關系【例【例4】（】（20182018?綿陽模擬）已知綿陽模擬）已知a，b，c∈R，且滿足，且滿足b2cc2=1=1，如果存在兩，如果存在兩條互相垂直的直線與函數(shù)條互相垂直的直線與函數(shù)f（x）=axbcosxcsinx=axbco

8、sxcsinx的圖象都相切，則的圖象都相切，則aac的取值范圍是的取值范圍是.23abc???則23bc?，∵，∵b2cc2=1=1，∴sincosba????設，∴235sin()bc?????，故aac∈[﹣，]，【例【例5】.已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）=lnx=lnx﹣a（x﹣1），），g（x）=e=ex，其中，其中e為自然對數(shù)的為自然對數(shù)的底數(shù)底數(shù)（Ⅰ）設（Ⅰ）設，求函數(shù)，求函數(shù)t（x）在）在[m[m，m1]m1]（m＞0）上的）