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1、,其中 Γ-函數(shù)定義為,它有遞推關(guān)系:,當(dāng) x 為 正整數(shù),另一個(gè)解,通解:,(2) m 階貝塞耳方程,階貝塞耳函數(shù),階貝塞耳函數(shù),,只能從 開(kāi)始。,不再是通解。,與,相互不獨(dú)立。,(3) 諾依曼函數(shù),它與,和,都相互獨(dú)立。,階貝塞耳方程的通解又可以寫(xiě)作,m 階貝塞耳方程的通解只能寫(xiě)作,(4) 第一種和第二種漢克爾函數(shù),階貝塞耳方程的通解又可以寫(xiě)作,(5),第一類柱函數(shù):貝塞耳函數(shù),第二類柱函數(shù):諾依曼函數(shù)
2、,第三類柱函數(shù):漢克爾函數(shù),圖,3. 和 的行為,需專門(mén)計(jì)算,都有限!,4. 遞推公式,對(duì),、m,諾依曼函數(shù)、漢克爾函數(shù)滿足同樣關(guān)系。,寫(xiě)作,5.虛宗量貝塞耳方程,階虛宗量貝塞耳方程,定義:,通解:,m 階虛宗量貝塞耳方程,另一個(gè)獨(dú)立解需要另外研究。,,圖,,,,,,,11.2,貝塞耳方程,描寫(xiě)沿 的變化,邊界條件確定在柱面上。,,1. 本征值問(wèn)題,m 已定,須定,A. 柱
3、面的第一類齊次邊界條件:,對(duì)于不同的 n,有,的離散本征值,零點(diǎn),B. 第二類齊次邊界條件:,僅有貝塞耳函數(shù)具有這種性質(zhì),兩個(gè)零點(diǎn)之間必有極值。,同樣,,為貝塞耳函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)序列,則本征值為,m=0 的情況:,即:,C. 第二類齊次邊界條件:,將是上上述方程度解。,2. 正交關(guān)系,貝塞耳方程是施圖姆-劉維爾本征值方程:,故它有正交關(guān)系,3. 模,對(duì)三個(gè)不同的本征值序列成立。,三個(gè)不同的本征值序列,有三個(gè)不同的模。,或,同一個(gè)方程的三
4、個(gè)不同的施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題。,A. 第一類齊次邊界條件:,由,B. 第二類齊次邊界條件:,C. 第三類齊次邊界條件:,4. 廣義傅立葉級(jí)數(shù),指定的m,次序由n給出。,權(quán),幾個(gè)有用的公式:,由遞推公式,傅立葉-貝塞耳積分,的情況,例1,利用遞推公式求積分,例2,方程指定了為第一類邊界條件,或者,單位一!,例4,,,,,,,,軸對(duì)稱,1.,2.,例5,方程如P.179,習(xí)題5 (圓錐改為方錐),1. 分離變量,2. 貝塞耳方程,
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