平衡方程組的解法與完全消耗系數(shù)

1、,,,經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué) 線 性 代 數(shù),第17講 平衡方程組的解法與完全消耗系數(shù)教師：邊文莉,,,一、平衡方程組的解法,消耗平衡方程組,（2） 已知，可求,（1） 已知，可求,,,分配平衡方程組,已知， 可求,定理:若 為直接消耗系數(shù)矩陣，E-A可逆。,,,定理:若 階矩陣 滿足,則 當(dāng) 非負(fù)時(shí)，存在非負(fù)解,例 設(shè)某工廠有

2、三個(gè)車間，在某一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求如表，求各車間的總產(chǎn)值。,,,,,解,,,即三個(gè)車間的總產(chǎn)值分別為400，300，350。,,,由 計(jì)算各部門的流量,,,二、完全消耗系數(shù),實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，比如冶金部門的生產(chǎn)除直接消耗電力外，還要消耗煤炭；而煤炭部門的生產(chǎn)也要消耗電力；電力部門的生產(chǎn)又要消耗鋼材。這表明，一個(gè)部門除了直接消耗另一個(gè)部門的產(chǎn)品外，還通過其他部門間接消耗該部門的產(chǎn)品

3、，為了改進(jìn)平衡方程組，我們給出間接消耗和直接消耗系數(shù)的概念。,,,直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗，不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出如下定義。,定義 第j部門生產(chǎn)單位價(jià)值量直接和間 接消耗的第i部門的價(jià)值量總和，稱為第j部 門對(duì)第i部門的完全消耗系數(shù)，記作 。,,,由 構(gòu)成的n階方陣 稱為各部門

4、間的完全消耗系數(shù)矩陣。,定理 第j部門對(duì)第i部門的完全消耗系數(shù) 滿足方程,定理 設(shè)n個(gè)部門的直接消耗系數(shù)矩陣為 A，完全消耗系數(shù)矩陣為B，則有,,,證明 由定理知，,將 個(gè)等式用矩陣表示為,由定理知(E-A)可逆，故,,,例：設(shè)某個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)劃分為三個(gè)部門，討論第二個(gè)部門對(duì)第一個(gè)部門的完全消耗系數(shù),第二個(gè)部門對(duì)第一個(gè)部門的直接消耗系數(shù)為 第三個(gè)部門對(duì)第一個(gè)部門的完全消耗系數(shù)為,第二個(gè)部門對(duì)第三個(gè)

5、部門的直接消耗系數(shù)為 第二個(gè)部門通過第三個(gè)部門對(duì)第一個(gè)部門的間接消耗系數(shù)為,,,例 假設(shè)某公司三個(gè)生產(chǎn)部門間的報(bào)告價(jià)值 型投入產(chǎn)出表如,,求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。,,,解 依次用各部門的總產(chǎn)值去除中間消耗欄中各列，得到直接消耗系數(shù)矩陣為,,,故所求完全消耗系數(shù)矩陣為,由此例可知，完全消耗系數(shù)矩陣的值比直接消耗系數(shù)矩陣的值要大的多。,,,分配平衡方程組,又因?yàn)?所以,,,定理 如果第j部門最終需求增

6、加 ，而 其他部門的最終需求不變，那么部門總產(chǎn)出 X的增量為,其中,為單位坐標(biāo)向量。,證明由定理知 ，由前述討論,,,由定理假設(shè)，部門最終需求增量,于是,,,定理表明，由第j部門最終需求的增加（其他部門的最終需求不變），引起了各部門總產(chǎn)值的增加。 從數(shù)量上表示了各部門的增加量。如果沒有這些追加，第j部門要完成增加

7、 最終需求的任務(wù)就不能實(shí)現(xiàn)。,如果定理的結(jié)論用分量表示,,,特別取 ，則有,上式的經(jīng)濟(jì)意義是，當(dāng)?shù)趈部門的最終需求增加一個(gè)單位，而其他部門最終需求不變時(shí)，第i部門總產(chǎn)值的增加量為 ，當(dāng)?shù)趇部門的最終需求增加一個(gè)單位而其他部門的最終需求不變時(shí)，第i部門總產(chǎn)值的增加量為 。,,,若令,用矩陣表示為,將 代入上式，則,,,例 利用第一例中的數(shù)據(jù)，