數(shù)理方程課程總結(jié) (精簡)

1、1,考試時間：5月12日上午(第十三周周一),考前集中答疑安排：,地點：科技樓南樓602（應用數(shù)學系辦公室）,時間：5月11日全天,2,第2章主要內(nèi)容,1.對一維波動方程和熱傳導方程的定解問題而言：,(適用有界區(qū)域、兩個變量),分離變量法、,固有函數(shù)法、,作輔助函數(shù)法,,方程和邊界條件齊次,,方程非齊次，定解條件齊次,,邊界條件非齊次,3,幾種常見的固有函數(shù)系的形式,(1),,(2),,(3),,(4),,以上幾種形式對于一維振動方程、

2、熱傳導方程和,矩形域上的泊松方程是適用的。,圓域上的泊松方程對應的固有函數(shù)系為,(5),4,(4),(3),(2),(1),幾種非齊次邊界條件相應的輔助函數(shù),的表達式：,以上4種輔助函數(shù)的情形對一維波動方程和一維熱傳導方程都適用。,,,,,,注意特殊情形：課件中2.5節(jié)的例2’,5,2.對于二維拉普拉斯方程的邊值問題而言：,●,對圓域采用極坐標,●,對于矩形域,采用直角坐標系,用分離變量法,第2章主要內(nèi)容,6,3.對于二維泊松方程的邊值

3、問題而言：,,(P),,(Q),思路1,(1)找出此泊松方程的一個特解,令,(2)將泊松方程化成拉普拉斯方程,可用分離變量法求解問題(Q),第2章主要內(nèi)容,3.對于二維泊松方程的邊值問題而言：,,(P),思路2,將問題(P)的解看成兩部分，,令,和,分別滿足,第2章主要內(nèi)容,8,3.對于二維泊松方程的邊值問題而言：,,(P),,(P1),,(P2),和,固有函數(shù)法,分離變量法,第2章主要內(nèi)容,9,第5章主要內(nèi)容,(貝塞爾函數(shù)的應用)分離

4、變量法的想法,1.,階貝塞爾方程的固有值問題,階貝塞爾方程的通解可表示為,固有值和固有函數(shù)分別為,,(33),(32),10,第5章主要內(nèi)容,(25),(26),2.,階貝塞爾函數(shù)的遞推公式,(27),(28),特別的，,(29),11,第5章主要內(nèi)容,3. 傅里葉-貝塞爾級數(shù),(42),其中系數(shù),由下式確定,(43),4. 貝塞爾函數(shù)的應用(分離變量法)，書上例子,12,,(3),(4),(18),1,無限長弦自由振動問題,的達朗貝爾

5、解為公式,(13),其中方程(3)的通解形式為,行波法或達朗貝爾解法,第3章主要內(nèi)容,(適用無界區(qū)域),13,2,無限長弦強迫振動問題,的解為公式,,(1),(2),(26),第3章主要內(nèi)容,3. 會應用傅氏變換和拉氏變換求解定解問題,書上例子很重要,14,書上例子中出現(xiàn)的傅里葉變換或逆變換,1.,2.,3.,4.,5.,15,幾類常見的拉普拉斯變換或逆變換,1.,3.,4.,特別的，,2.,5.,延遲定理的逆變換形式,16,二維、三維

6、拉普拉斯方程的基本解分別為,1,2,(6),空間上格林第二公式,第4章主要內(nèi)容,(6’),平面上格林公式,二維、三維拉普拉斯方程邊值問題,17,(8),3,調(diào)和函數(shù)的積分表達式(三維情形),二維情形下，調(diào)和函數(shù)的積分表達式,第4章主要內(nèi)容,(8’),18,性質(zhì)1,(12),調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì),4,設(shè)函數(shù),它在,上連續(xù)，且不為常數(shù)，,則,內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，,是區(qū)域,性質(zhì)3,它的最大值、,最小值只能在邊界,上達到,(極值原理)。,性質(zhì)2,(13

7、),(平均值定理),第4章主要內(nèi)容,利用極值原理證明拉普拉斯方程或泊松方程狄利克雷問題解的唯一性。,5,補充：學會結(jié)合極值原理和狄利克雷問題解的唯 一性處理問題（例如格林函數(shù)性質(zhì)5、 習題四第8題等）,20,,(19),(17),其中,如果三維拉普拉斯方程的狄利克雷問題,上具有一階連續(xù)偏導數(shù)的解存在的話，,在,那么問題(19)的解可表示為,(20),6,21,,(19’),如果二維拉普拉斯方程的狄利克雷問題,上

8、具有一階連續(xù)偏導數(shù)的解存在的話，,在,那么問題(19’)的解可表示為,(20’),(17’),其中,7,22,求解上半空間,,內(nèi)的狄利克雷問題,(23),(22),上半空間的格林函數(shù)為,(24),得到定解問題(22)(23)的解,(26),8,23,求解上半平面,,內(nèi)的狄利克雷問題,(23’),(22’),上半平面的格林函數(shù)為,(24’),(26’),解的積分表達式,9,求解球域上的狄利克雷問題：,,(28),(27),其中,是以,邊界