小除數(shù)理論與迭代泛函方程的解析解.pdf

1、動力系統(tǒng)是研究事件怎樣隨時間變化而改變的規(guī)律的，特別是在天文、物理、生物學等領域的研究中，經(jīng)常用到與之相關的數(shù)學模型。通過研究這些模型，我們可以找到現(xiàn)在發(fā)生的事情與將要發(fā)生的事情之間的關系，由這種關系，我們便能夠推測在未來的時間里會發(fā)生什么。根據(jù)系統(tǒng)變化的規(guī)律可分為連續(xù)動力系統(tǒng)和離散動力系統(tǒng)。其中，迭代扮演著重要的角色，有著舉足輕重的作用。
　　 在動力系統(tǒng)中許多穩(wěn)定性問題都要面對小除數(shù)帶來的困難，最著名的例子便是上個世紀，由K

2、olmogorov，Arnold，Moser創(chuàng)立的KAM理論，該理論主要考慮擬可積哈密頓系統(tǒng)擬周期解的保持性問題。對于一維解析小除數(shù)問題的研究已有許多結果，值得一提的是意大利數(shù)學家S.Marmi和法國數(shù)學家J.C.Yoccoz[98，99，186]，他們的相關成果推動了這一領域的研究。其中最佳算數(shù)性條件，到目前為止，在局部范圍上的討論所使用的還是40年前由Brjuno引入的條件(以下簡稱Brjuno條件)；在全局范圍里，則主要是由J.C

3、.Yoccoz引入的限制性條件，但其給出的限制性條件較多，所以如何減少這些限制性條件仍是一個問題。事實上，一維小除數(shù)問題在局部可看成是映射的共軛問題，即f(h(z))=h(g(z))，此處g(z)=qz，進一步又可歸結為f的線性化問題。而為此，使用實數(shù)的連分數(shù)展開的相關理論成為研究這個問題的重要工具之一，故在文中，我們將簡要介紹連分數(shù)的有關概念。
　　 本論文主要研究了幾類方程局部解析解的存在性問題，討論了四類方程解析解的存在性

4、和解的顯示結構。作者利用Schroder變換，冪級數(shù)理論研究了這幾類方程的局部解析解。在方法上要求其解在不動點處的特征值不在單位圓上或在單位圓上但滿足Brjuno條件。當特征值處于單位圓周上時，由于形式解的優(yōu)級數(shù)中出現(xiàn)1/1-qn(小除數(shù)問題)，給我們判斷形式解的收斂性造成了困難。這時，我們利用Brjuno條件克服了這個困難。此外，我們還在所謂共振情況下考慮了解析解的存在性問題。綜上所述，我們在如下條件下考慮了幾類方程的局部解析解，其中

5、q為解在不動點處的特征值：
　　 全文的結構安排如下：
　　 在第一章中，我們主要介紹小除數(shù)理論、迭代函數(shù)方程、迭代泛函微分方程和q-差分方程的主要概念，近幾年在該方面的研究成果及必要的理論基礎。
　　 第二章討論了一類關于變系數(shù)多項式型迭代函數(shù)方程的解析解。關于這類方程的研究已有很多結果([34，84，134，156，193，197])，本文進一步改進和推廣了現(xiàn)有結果。實際上我們在復域上考慮了一類更一般的變系數(shù)

6、多項式型迭代函數(shù)方程：的局部可逆解析解問題.顯然，當令vi(z)，i=1，...，n分別為0，z，f(z)時便可得到上述文獻中所提及的多項式型迭代方程.我們利用冪級數(shù)理論和小除數(shù)理論考慮了該方程解的特征值在不同位置時局部解析解的存在性問題，特別是我們還考慮了利用Abel變換得到與Schroder變換類似的結論。
　　 在第三、四兩章中，我們分別考慮了如下兩類泛函微分方程的局部解析解問題：分別推廣了司建國和作者本人以前的工作及他人

7、的一些結果。第一個方程是一類在數(shù)論中有重要作用的方程的推廣，它與著名的Golomb序列有密切的聯(lián)系([54，58，100，103]，[123]-[126])。這里，我們通過類似作者先前的工作對該方程進行了討論。對于第二個方程，由于內(nèi)層函數(shù)具有二階導數(shù)，我們首先通過變量代換、積分變換等技巧將其轉化為一個迭代方程。進一步，利用我們前面的方法，討論這個迭代微分方程的解析解問題。最后，我們舉例說明可用這種方法來求得原方程的解析解，并能具體表達出

8、該解析解的顯示形式。
　　 q-差分方程解析解的研究由來已久，本文在第五章首先回憶q-差分方程的一些結果，進而在原點附近考慮了一類q-差分方程：的解析解問題。針對已知函數(shù)Ct，j(z)，G(z)是有極點的情況，我們首先將其轉化為一個不含極點的q-差分方程，進而對q在不同的位置進行討論。由于q的位置與其對應的θ值有關，而θ的值又和其連分數(shù)有密切的聯(lián)系，所以我們在考慮形式解是否收斂時，只要對θ的連分數(shù)進行討論即可。在本章我們不僅考慮