迭代微分方程解析解與光滑解的研究.pdf

1、非線性科學(xué)已成為當(dāng)今科學(xué)研究的一個熱點，其中迭代動力系統(tǒng)扮演著十分重要的角色.對迭代動力系統(tǒng)的研究必然涉及迭代微分方程問題.迭代微分方程是一種具有復(fù)雜偏差變元的方程，其時滯不僅依賴于時間而且依賴于狀態(tài)或者依賴于狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)甚至狀態(tài)的高階導(dǎo)數(shù).這類方程是與已經(jīng)形成了系統(tǒng)理論的傳統(tǒng)的泛函微分方程(滯后型、中立型與超前型)不同的新型方程.它有很強(qiáng)的實際應(yīng)用背景。在經(jīng)典電動力學(xué)中的二體問題，一些人口模型、日用品價格波動模型、以及血細(xì)胞生產(chǎn)模型都有

2、所涉及.本文將研究兩種類型的迭代微分方程的解析解和光滑解. 本文的第一章介紹迭代、迭代與動力系統(tǒng)、迭代微分方程的有關(guān)概念和發(fā)展?fàn)顩r，以及為第二、三章的證明提供必要的理論基礎(chǔ)。 迭代微分方程與常微分方程有很大的不同，由于未知函數(shù)迭代的出現(xiàn)，嚴(yán)重影響了解的性質(zhì)，因此常微分方程中的存在唯一性定理不能直接使用.迭代微分方程是否有類似于常微分方程的存在性，唯一性和連續(xù)依賴性定理是一個需要回答的問題.本文的第二章第一節(jié)，第三章對兩類

3、迭代微分方程解析解的存在性和解的構(gòu)造進(jìn)行了研究.它是首先利用Schroder變換把迭代微分方程化為不含未知函數(shù)迭代的非線性微分方程，再利用優(yōu)級數(shù)方法得到解析解的存在性，進(jìn)而還利用Schroder變換、冪級數(shù)理論，來研究這類具有相當(dāng)廣泛性的非線性迭代方程解析解的存在性問題，在方法上要求其解在不動點處的特征值不在單位圓周上或在單位圓周上但滿足Diophantine條件.本文要解決的解析解問題也涉及解在不動點處特征值的分布.當(dāng)特征值處于單位圓

4、周上時收斂性是很復(fù)雜的，我們不僅在Diophantine條件下(特征值“遠(yuǎn)離”單位根)證明了形式解的收斂性，而且在非Diophantine條件下(收斂性等同于著名的“小除數(shù)問題”)也取得了一些進(jìn)展.文章中我們突破了Diophantine條件的限制，在α是單位根的情形，在較弱的Brjuno條件下給出了解析解結(jié)果。 迭代微分方程連續(xù)解和可微解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性已有許多結(jié)果.但在研究高階光滑解的存在性、唯-性和穩(wěn)定性時，由于函數(shù)