一類迭代泛函微分方程的解析解.pdf

1、非線性科學(xué)已成為當今基礎(chǔ)科學(xué)研究的一個熱點，其中迭代動力系統(tǒng)扮演著十分重要的角色。對迭代動力系統(tǒng)的研究必然涉及迭代泛函微分方程問題.迭代泛函微分方程是一種具有復(fù)雜偏差變元的泛函方程，其時滯不僅依賴于時間而且依賴于狀態(tài)或者依賴于狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)甚至狀態(tài)的高階導(dǎo)數(shù).這類方程是于已經(jīng)形成了系統(tǒng)理論[1]的傳統(tǒng)的泛函微分方程(滯后型，中立型與超前型)不同的新型方程. 動力系統(tǒng)就是要研究一個決定性系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時間變化的規(guī)律.根據(jù)系統(tǒng)變化的規(guī)

2、律可分為由微分方程描述的連續(xù)動力系統(tǒng)和由映射迭代揭示的離散動力系統(tǒng).許多物理、力學(xué)、生物學(xué)以及天文學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型都是有連續(xù)的和離散的迭代過程描述的.動力系統(tǒng)的許多問題都可以化為迭代函數(shù)方程或迭代泛函微分方程.例如，描述經(jīng)典電動力學(xué)的二體問題、一些人口模型、日用品價格模型以及血細胞生產(chǎn)模型都涉及到迭代泛函微分方程.本文將研究一種類型的迭代泛函微分方程的解析解的存在性和解的顯式結(jié)構(gòu). 本文的第一章介紹迭代與動力系統(tǒng)，迭代泛函微分方

3、程的有關(guān)概念和發(fā)展情況，以及為第二章的證明提供必要的理論基礎(chǔ). 迭代泛函微分方程與常微分方程有很大的不同.由于未知函微迭代的出現(xiàn)，常微分方程中經(jīng)典的存在性定理不能使用.迭代微分方程是否有類似與常微分方程的存在性與連續(xù)依賴性定理是一個需要回答的問題.本文的第二章對一類二階迭代微分方程解析解的存在性和解的結(jié)構(gòu)進行了研究.它是首先利用Schr(O)der變換把迭代泛函微分方程化為不含未知函微迭代的非線性泛函微分方程，再利用優(yōu)級數(shù)方法得

4、到解析解的存在性，進而還利用Schr(o)der變換、冪級數(shù)理論研究這類具有相當廣泛性的非線性迭代函數(shù)方程解析解的存在性問題.在方法上要求其解在不動點處的特征值不在單位圓周上或在單位圓周上滿足Diophantine條件. 本章要解決的解析解問題也涉及在不動點處的特征值的分布.當特征值處于單位圓周上時收斂性是很復(fù)雜的，我們不僅在Diophantine條件下(特征值遠離單位根)證明形式解的存在性，而且在非Diophantine條件下