隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)態(tài)數(shù)值解研究.pdf

1、隨機(jī)泛函微分方程可以看成是隨機(jī)微分方程與確定性泛函微分方程的綜合與推廣，由于用該方程描述的系統(tǒng)既考慮了延遲因素又兼顧了隨機(jī)擾動(dòng)的影響，一般更能反映實(shí)際問(wèn)題的需要，因而被廣泛應(yīng)用于物理、生物、機(jī)械、金融、控制等科學(xué)與工程領(lǐng)域的系統(tǒng)建模中。對(duì)隨機(jī)微分方程，除少數(shù)線(xiàn)性情況外，一般的非線(xiàn)性方程都很難求其理論解，隨機(jī)泛函微分方程更是如此，因而構(gòu)造合適的數(shù)值算法對(duì)相應(yīng)的解過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬就顯得尤為重要了。相對(duì)于確定性問(wèn)題，隨機(jī)泛函微分方程由于隨機(jī)因

2、素的存在，在理論分析與算法構(gòu)造的過(guò)程中，其難度和復(fù)雜性將大大提高。 在隨機(jī)泛函微分方程的理論中，穩(wěn)定性分析是個(gè)重要課題。本文第二章針對(duì)一般的隨機(jī)泛函微分方程，應(yīng)用Razumikhin技巧，考察了理論解的p階矩漸近穩(wěn)定性，得到了一個(gè)非常一般的定理，并引發(fā)出許多相關(guān)的推論與結(jié)論，其中一個(gè)重要的應(yīng)用就是可以推出Razumikhin—Mao定理的主要結(jié)果。在實(shí)際應(yīng)用中體現(xiàn)了一定的價(jià)值。 隨機(jī)泛函微分方程是定義在連續(xù)函數(shù)空間上的一

3、類(lèi)方程，在實(shí)際計(jì)算中，只能考慮其特殊形式如隨機(jī)延遲微分方程。 隨機(jī)延遲微分方程的數(shù)值處理是個(gè)新的研究領(lǐng)域，目前成果不多，主要是用Euler方法求解此類(lèi)方程，并考察其線(xiàn)形均方穩(wěn)定性。但Euler方法精度較低，只有強(qiáng)0．5階。 本文第三章將強(qiáng)1階的Milstein方法應(yīng)用于一般的線(xiàn)性隨機(jī)延遲微分方程，得到其數(shù)值算法的一般格式，在分析了一類(lèi)特殊的隨機(jī)多重積分矩性質(zhì)的前提下，考察了Milstein方法的均方穩(wěn)定性，得到了當(dāng)線(xiàn)性系

4、統(tǒng)理論解滿(mǎn)足均方穩(wěn)定性條件下，對(duì)應(yīng)數(shù)值解只需步長(zhǎng)滿(mǎn)足一定條件亦是均方穩(wěn)定的理論結(jié)果。接著，在第四章我們將Milstein方法應(yīng)用于一般的非線(xiàn)性隨機(jī)延遲微分方程，得到了當(dāng)理論解是均方穩(wěn)定的，方程的漂移和擴(kuò)散項(xiàng)滿(mǎn)足一定的附加條件時(shí)，數(shù)值解也是均方穩(wěn)定的結(jié)論。 當(dāng)前，關(guān)于隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值算法理論的研究舉步維艱，其中一個(gè)重要的原因就是隨機(jī)微分方程的數(shù)值解理論遠(yuǎn)不及確定性的成熟。在數(shù)值算法方面，比較系統(tǒng)的有隨機(jī)Tayor方法，這類(lèi)方法

5、可以達(dá)到較高的精度，但是弊端是需要求高階導(dǎo)數(shù)，比較麻煩。后來(lái)，人們研究了不含導(dǎo)數(shù)的隨機(jī)Runge—Kutta方法，這方面的研究相當(dāng)復(fù)雜與困難。本文第五章在Burrage，R6ssler等人相關(guān)工作的基礎(chǔ)上，研究了求解Ito型隨機(jī)微分方程強(qiáng)解的Runge—Kutta方法。構(gòu)造了方法的一般格式，在應(yīng)用發(fā)展隨機(jī)Taylor展式和彩色樹(shù)理論的基礎(chǔ)上，得到了該類(lèi)方法的階條件，通過(guò)引入新的隨機(jī)變量，得到了兩類(lèi)二級(jí)和3個(gè)三級(jí)的具體格式并分析了方法的均