中立型隨機泛函微分方程的LaSalle型定理.pdf

1、在隨機微分方程理論中，穩(wěn)定性研究一直是個熱門課題。學者們采用了很多不同的方弦和技巧對穩(wěn)定性問題世行深入的討論，井得到了大量有用的結果。他們的上作有相當多一部分足將常微分方程中的常用的定理和方法推廣到隨機微分方程中，從而為隨機微分方程的研究提供一些有效且有益的工具。自然地，人們希望在常微分方程中發(fā)揮巨大作用的Lasaue定理也能應用十隨機微分方程的討論中，但遺憾的是，在過去很長一段時間里，將Lasalle定理進行改造使之能夠適用十隨機微分

2、方程的工作一直未能得到實質(zhì)性的突破。直到上個世紀末，才南英籍華裔教授Mao(毛學榮)做了開創(chuàng)性的工作。他成功地建立起了隨機微分方程的Lasalle定理，并運用他所建立的隨機Lasalle定理來分析隨機微分方程，取得了較為豐碩的成果。Mao所建立的隨機Lasalle定理能夠很好地用于分析隨機延遲微分方程和隨機泛函微分方程的各種漸近性質(zhì)。不過對于更具一般性的中立型隨機泛函微分方程，他所建立的Lasalle定理出現(xiàn)了瓶頸。因為中立型方程特有的

3、中立項，給分析問題帶來了不小的困難，Mao的結論并不能直接用于該類方程的討論。 為了解決這個問題，本文借鑒Mao建立隨機Lasalle定理的思想和方法，通過對中立項的相關條件進行特殊的處理，建立了中立型隨機泛函微分方程的Lasalle定理，并借助于建立的隨機Lasalle型定理，分析了方程的解的穩(wěn)定性、吸引子、有界性等漸近性質(zhì)，得到了一系列的新的結果。本研究注意到，在研究方程解的漸好性質(zhì)的大量文獻中，人們往往只能得到方程的解將趨于

4、某一個區(qū)域的結論，而對解趨于這一區(qū)域的速度快慢卻缺少細致分析，這就不能滿足應用上多方面的需要。為了解決這個問題，在討論中引入了一類“ψ函數(shù)”作為輔助工具。本文將“ψ函數(shù)”與方程的解的乘積當作一個整體，并考慮整體的漸近性質(zhì)。在得到了該乘積的漸近性質(zhì)后，可以借助于有確定表達式的“ψ函數(shù)”與方程的解函數(shù)的相對比來揭不解趨于某特定區(qū)域的速度，從而能夠更為細致地了解方程的解的性質(zhì)。與之相應地，本文建立了“ψ函數(shù)穩(wěn)定”的概念，這是一種更具有一般性的

5、穩(wěn)定：指數(shù)穩(wěn)定和多項式穩(wěn)定僅足其的特例之一。通過對幾類方程的討論，將不同的漸近穩(wěn)定性借助于“ψ函數(shù)”歸結為一種“ψ函數(shù)穩(wěn)定性”。需要提到的是，這種新的更其一般性的穩(wěn)定性為建立除指數(shù)穩(wěn)定性和多項式穩(wěn)定性等常見穩(wěn)定性之外的新的穩(wěn)定性提供了可能。此外，還同時建立了“ψ函數(shù)穩(wěn)定”的若干判別標準。 本文應用半鞅收斂定理、隨機微積分的相關知識以及矩不等式、Burldlolder-Davis-Gunay不等式和Gronwall不等式等技巧，得

6、到中立型隨機泛函微分方程的解與特定的“ψ函數(shù)”的乘積在一定的條件下將趨向某非空集合這一結論，并建立了該中立型方程的隨機LaSalle型定理。在緊隨其后的穩(wěn)定性、吸引子和有界性等漸近性質(zhì)的分析中，本文均利用了類似的方法和工具，所得到的主要結果可以視為某種隨機的LaSalle型定理。最后對兩類Markov調(diào)制的隨機微分方程進行了討論。對于Markov調(diào)制的中立型隨機泛函微分方程，建立了隨機LaSalle型定理，從而將本研究的工作推廣到一種更