剛性微分方程幾類高效數(shù)值方法及中立型泛函微分方程數(shù)值穩(wěn)定性分析.pdf

1、剛性微分方程常出現(xiàn)于航空、航天、熱核反應(yīng)、自動控制、電子網(wǎng)絡(luò)及化學(xué)動力學(xué)等一系列高科技領(lǐng)域,其數(shù)值解法具有毋庸質(zhì)疑的重要性。偏微分方程初邊值問題半離散化而獲得的大規(guī)模常微分方程組是產(chǎn)生剛性的另一個重要源泉。近幾十年來,剛性微分方程算法理論獲得了大量重要成果。對于剛性問題的計(jì)算,要求數(shù)值方法的絕對穩(wěn)定域盡可能的大;同時要求Stiff分量的數(shù)值誤差能夠迅速衰減,從而要求方法在∞點(diǎn)是極端穩(wěn)定的。因此構(gòu)造這兩方面都具有優(yōu)勢的高效數(shù)值方法一直是剛

2、性問題研究的重要課題之一。
　　一些著名的數(shù)值方法如BDF方法等在∞點(diǎn)是極端穩(wěn)定的,但高階方法的穩(wěn)定域不夠理想;而Gauss型Runge-Kutta方法盡管是A-穩(wěn)定的,但在∞點(diǎn)不是強(qiáng)穩(wěn)定的。為此,構(gòu)造在∞點(diǎn)是極端穩(wěn)定的且有較大穩(wěn)定域的高效算法是本文的第一項(xiàng)工作:
　　(1)構(gòu)造了3-6階改進(jìn)的向后微分公式IBDFI及3—7階改進(jìn)的向后微分公式IBDF2;
　　(2)構(gòu)造了5-9階改進(jìn)的Enright方法;
　　

3、以上三類新的方法分別保持了BDF方法和Enright方法固有優(yōu)點(diǎn),但其穩(wěn)定域得到了較大改善,有較好的應(yīng)用前景。
　　(3)運(yùn)用模式搜索法得到了幾類在∞點(diǎn)穩(wěn)定性最優(yōu)的s級r步Gauss型多步Runge-Kutta方法,其中s=1,2,3,r=2,3,這些方法在∞點(diǎn)的穩(wěn)定性遠(yuǎn)優(yōu)于s級Gauss型單步Runge-Kutta方法。理論分析和數(shù)值試驗(yàn)表明,對于求解強(qiáng)剛性問題,前者的實(shí)際計(jì)算精度遠(yuǎn)高于后者。
　　應(yīng)該注意到在∞點(diǎn)L-穩(wěn)定

4、的Gauss型多步Runge-Kutta方法是不存在的,能獲得使穩(wěn)定矩陣在∞處的譜半徑最小的強(qiáng)穩(wěn)定的s級r步 Gauss型多步Runge-Kutta方法對于強(qiáng)剛性問題的求解是非常有利的。
　　中立型泛函微分方程(NFDEs)常出現(xiàn)于生物學(xué)、物理學(xué)、控制理論及工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域。在過去的幾十年里,許多學(xué)者致力于數(shù)值方法的線性穩(wěn)定性研究并獲得了大量重要成果。最近,一些學(xué)者就非線性中立型延遲微分方程(NDDEs)和非線性中立型延遲積分微

5、分方程(NDIDEs)的數(shù)值穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究中立型延遲積分微分方程及更一般的中立型泛函微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性是本文的另一項(xiàng)工作:
　　(4)研究了中立型延遲積分微分方程線性多步法的數(shù)值穩(wěn)定性。結(jié)果表明:在問題本身漸近穩(wěn)定的條件下,A-穩(wěn)定的線性多步法也是漸近穩(wěn)定的。
　　(5)研究了巴拿赫空間中中立型泛函微分方程顯式和對角隱式Rung-Kutta方法的非線性穩(wěn)定性。獲得了一些顯式和對角隱式Rung-Kut