抽象空間中非線性Volterra泛函微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性分析.pdf

1、泛函微分方程廣泛出現(xiàn)于生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)及社會(huì)學(xué)、控制論及工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域．其算法理論的研究對(duì)推動(dòng)這些科技領(lǐng)域的發(fā)展無(wú)疑非常重要．近年來(lái)，泛函微分方程，特別是其特例一延遲微分方程的算法理論的研究得到了很大發(fā)展，獲得了豐碩成果，這些成果可參見Barwell，Bellen，Toreli，Zennaro,Spijker, Watanabe,Roth,in’t Hout，Baker,Paul，koto，Iserles以及李寺佛，匡蛟勛，劉明

2、珠，黃乘明，張減堅(jiān)，田紅炯，胡廣大，甘四清等人的工作．但這些工作局限于討論有限維內(nèi)秘空間中的初值問題，是以內(nèi)秘范數(shù)和單邊Lipschitz條件為基礎(chǔ)的．然而，科學(xué)與工程技術(shù)中還存在大量剛性問題，盡管問題本身是整體良態(tài)的，但當(dāng)使用內(nèi)積范數(shù)時(shí)，其最小單邊Lipschitz常數(shù)卻小可避免地取非常巨大的正值．因此，突破內(nèi)積范數(shù)和單邊Lipschitz常數(shù)的局限去建立泛函微分方程及其數(shù)值方法的理論是一項(xiàng)非常迫切而又富有意義的工作． 本文研

3、究求解Banach空間中Volterra泛函微分方程的幾類常用數(shù)值方法的非線性穩(wěn)定性以及Hilbert空間中Voterra泛函微分方程及其數(shù)值方法的散逸性．所獲主要結(jié)果如下： (1)提出了Banach空間中的Volterra泛函微分方程試驗(yàn)問題類Dλ+(α,β,μ1,μ2)和Dλ+δ（α，β，μ1，μ2),獲得了理論解的一系列穩(wěn)定性結(jié)果，并獲得了Do(α,β,μ1,μ2)類問題的基于對(duì)數(shù)矩陣范數(shù)的條件估計(jì)．這些結(jié)果是文獻(xiàn)中已有的

4、關(guān)于Banach空間中常微分方程初值問題類K（μ，λ＊）和K（μ，λ＊，δ）及泛函微分方程問題類Do（α，β，μ1，μ2)的相應(yīng)結(jié)果的推廣. (2)獲得了求解Banach空間中Do,o（α，β，μ1，μ2)類非線性Volterra泛函微分方程初值問題的θ-方法的一系列數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)果．這些結(jié)果適用于延遲微分方程，秘分微分方程及實(shí)際問題中遇到的各種類型的泛函微分方程，同時(shí)還包含當(dāng)α+β>0時(shí)的穩(wěn)定性結(jié)果，因而比文獻(xiàn)中已有的關(guān)于θ-方

5、法的數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)果更為一般和深刻．同時(shí)還首次給出了Banach空間中非線性Volterra泛函微分方程θ-方法的數(shù)值漸近穩(wěn)定性結(jié)果． (3)建立了一類求解Banach空間中Dλ+(α,β,μ1,μ2)和Dλ+δ（α，β，μ1，μ2)類非線性volterra泛函微分方程初值問題的變系數(shù)線性多步方法及顯式和對(duì)角隱式Runge-Kutta方法的數(shù)值穩(wěn)定性準(zhǔn)則，首次將文獻(xiàn)中已有的關(guān)于Banach空間中常微分方程數(shù)值方法相應(yīng)的數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)

6、果成功地推廣刮一般的Volterra泛函微分方程初值問題的情形． 據(jù)我們所知，僅僅對(duì)于有限維空間中延遲微分方程的特殊情形，Bellen發(fā)表過(guò)關(guān)于對(duì)角分裂Runge-Kutta方法在最大范數(shù)下保持微分方程收縮性的一篇論文，除此之外，此前國(guó)內(nèi)外尚未見刮與上述（2），（3）兩項(xiàng)同類的研究工作． 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)指出，即使按內(nèi)積范數(shù)其單邊Lipschjtz常數(shù)十分巨大的問題仍有可能屬于Dλ+(α,β,μ1,μ2)和Dλ+δ（α，β，μ1

7、，μ2)問題類，因而本文中所獲得的上述結(jié)果對(duì)于這些問題同樣是適用的． （4）首次研究了Hilbert空間中非線性Volterra泛函微分方程的散逸性，獲得了泛函微分方程本身散逸的充分條件．為非線性常微分方程，延遲微分方程，積分微分方程等各類泛函微分方程的散逸性研究提供了統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)．我們發(fā)現(xiàn)，將上述一般理論應(yīng)用于延遲微分方程所獲得的散逸性結(jié)果比文獻(xiàn)中已育的僅適用于常延遲、單延遲及α,β為常數(shù)的特殊情形的相應(yīng)結(jié)果更加一般和深刻，