幾類隨機(jī)泛函微分方程的數(shù)值算法與理論.pdf

1、由于隨機(jī)現(xiàn)象在自然界及其工程系統(tǒng)中的廣泛存在，隨機(jī)模型在生物、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、工程等諸多科學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。同時(shí)，隨著研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)很多現(xiàn)象的發(fā)生會(huì)受到時(shí)滯因素的影響，即與事物的過(guò)去狀態(tài)有關(guān)，而不是僅僅取決于系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)。隨機(jī)泛函微分方程(SFDEs)常常被用來(lái)對(duì)這些系統(tǒng)進(jìn)行建模，它們通常可以看成是泛函微分方程(FDEs)和隨機(jī)微分方程(SDEs)的推廣。由于隨機(jī)泛函微分方程的顯式解通常很難被求得，于是開(kāi)展對(duì)

2、其數(shù)值方法的研究就顯得尤為重要。
　　 本文針對(duì)幾類It?o 型隨機(jī)泛函微分方程，構(gòu)造了若干新型數(shù)值方法，研究了其穩(wěn)定性、收斂性及計(jì)算實(shí)現(xiàn)。特別地，我們探討了生化系統(tǒng)的多尺度方法。全文組織如下：在第二章，我們給出了一種求解It?o 型隨機(jī)延遲微分方程的強(qiáng)預(yù)校方法，證明了在Lipschitz 條件和線性增長(zhǎng)條件下，該方法是min(1/2，?p)階收斂的。這里，被求解方程的初始函數(shù)是?p 次H¨older 連續(xù)的。其次，得到了該類方

3、法的一個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)，結(jié)果表明：若對(duì)方法本身的自由參數(shù)p 進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x取，所得到的新方法將會(huì)比普遍使用的Euler-Maruyama 方法具有更好的穩(wěn)定性。數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了方法的收斂性，并且通過(guò)對(duì)其自由參數(shù)p的不同取值，對(duì)比了方法的穩(wěn)定性。最后，討論了方法的向量化實(shí)現(xiàn)，表明通過(guò)向量化實(shí)現(xiàn)可以使得方法的計(jì)算效率得以明顯的提高。在第三章中，我們考慮了強(qiáng)預(yù)校方法應(yīng)用于It?o 型隨機(jī)微分方程時(shí)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性和矩指數(shù)穩(wěn)定性，得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性

4、判據(jù)。結(jié)果表明在一定的條件下，如果步長(zhǎng)足夠小，該方法是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定和矩指數(shù)穩(wěn)定的。數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了上述理論結(jié)果。在第四章，我們提出了一種求解隨機(jī)延遲微分方程的顯式強(qiáng)1 階無(wú)導(dǎo)數(shù)方法，其中，所研究的隨機(jī)延遲微分方程要求具有足夠光滑的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)以及標(biāo)量型的維納過(guò)程。此外，我們也給出了一個(gè)Milstein 方法求解線性測(cè)試方程的穩(wěn)定性結(jié)論，由該結(jié)論得到的穩(wěn)定域較先前文獻(xiàn)給出的穩(wěn)定域要更大。為了對(duì)比方法的穩(wěn)定域，我們進(jìn)一步研究了

5、無(wú)導(dǎo)數(shù)方法和Milstein 方法求解線性隨機(jī)延遲微分方程的穩(wěn)定性舉止。最后，用數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了其穩(wěn)定性結(jié)論。在第五章考慮了一類帶隨機(jī)擾動(dòng)和記憶項(xiàng)的復(fù)雜系統(tǒng)，這類系統(tǒng)可以用非線性隨機(jī)延遲積分微分方程來(lái)進(jìn)行建模。本章中，我們得到了一個(gè)關(guān)于該方程的延遲依賴的穩(wěn)定性判據(jù)，并且利用數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)一步論證了上述理論結(jié)果。在第六章，我們給出了分子數(shù)目跨度很大的延遲生化系統(tǒng)的多尺度模擬方法。基于系統(tǒng)分割的思想和已有的延遲生化系統(tǒng)的仿真方法，提出了一種可以顯