第三周解析幾何(向量積與混合積)

1、,,第三周,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,向量積 與 混合積,第一章,二、三向量的混合積,一、兩向量的向量積,,一、兩向量的向量積,引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) ,,有一個(gè)與杠桿夾角為,,,,,,,,,符合右手規(guī)則,,,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 定義,定義,向量,,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,,,,引例中的力矩,思考: 右圖三角形面積

2、,S＝,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,,,,,,,,,,3. 運(yùn)算律,(2) 分配律,(3) 結(jié)合律,,(證明略),證明:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,4. 向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,,,,,,,,,,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,向量積的行列式計(jì)算法,,,,,( 行列式計(jì)算見 教材附錄 或高等代數(shù)相關(guān)內(nèi)容),,,,,

3、,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 已知三點(diǎn),角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,,,,,,,,,,,,,求三,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一點(diǎn) M 的線速度,例2. 設(shè)剛體以等角速度 ? 繞 l 軸旋轉(zhuǎn),,導(dǎo)出剛體上,的表示式 .,,,,,,,解: 在軸 l 上引進(jìn)一個(gè)角速度向量,使,,其,在 l 上任取一點(diǎn) O,,作,,它與,則,點(diǎn) M離開轉(zhuǎn)軸的距離,且,符合右手法則

4、,的夾角為? ,,,,,,,,,,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,,,向徑,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,二、三向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,,底面積,高,,,,,故平行六面體體積為,,則其,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 性質(zhì),

5、(1) 三個(gè)非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對(duì)稱性 :,(可用三階行列式推出),,,,,,,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 已知一四面體的頂點(diǎn),4 ) , 求該四面體體積 .,解: 已知四面體的體積等于以向量,為棱的平行六面體體積的,故,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 證明四點(diǎn),共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 .,機(jī)動(dòng)

6、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. ( P.50 — 例1）,例6. ( P.52 — 例3）,例7. ( P.56 — 例1）,本章內(nèi)容小結(jié),設(shè),1. 向量運(yùn)算,加減:,數(shù)乘:,點(diǎn)積:,,叉積:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,混合積:,2. 向量關(guān)系:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè),計(jì)算,并求,夾角? 的正弦與余弦 .,答案:,2. 用向量

7、方法證明正弦定理:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,證: 由三角形面積公式,所以,因,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè) P.52 —— 1, 4 ; P.58 ——4 .,第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在頂點(diǎn)為,三角形中,,求 AC 邊上的