3例談構(gòu)造平行六面體解立體幾何題

1、2例談構(gòu)造平行六面體解立體幾何題例談構(gòu)造平行六面體解立體幾何題立體幾何題的題設(shè)中若有“垂直”(包括線線垂直、線面垂直及面面垂直)可以試著構(gòu)造長方體來求解，若沒有“垂直”也可嘗試構(gòu)造平行六面體來求解.本文以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書《數(shù)學(xué)選修21A版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下簡稱教科書)中的題目及幾道高考題來談?wù)勥@種解題方法.題1(教科書第106頁例2)如圖1，甲站在水庫底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上A的點(diǎn)處.從到直線(庫

2、底與水壩的交線)的距離和分別為和，的長BABlACBDabCD為，的長為.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.cABd圖1圖2解可在如圖2所示的平行六面體中求解：因為，所以CDACACAD??.又，所以面，得，所以.CDAD??CDBD?CD?ADB?AAAB???222ABdc???在中，由余弦定理可求得，此即所求二面角的ABD??2222cos2abcdADBab??????余弦值.題2(教科書第107頁練習(xí)第2題)如圖3，的二面角棱上

3、有兩點(diǎn)，直線60?AB分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于.已知ACBDAB，求的長.468ABACBD???CD圖3圖4解可在如圖4所示的平行六面體中求解：在中，ACE?，由余弦定理可求得.6660ACAEBDCAE??????252CE?⑤從四面體每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱可作為一個三角形的三邊長ABCD解②④⑤.如圖7，可把四面體放置在如圖所示的平行六面體中，由該四面ABCD體的三組對棱分別相等，可得該平行六面體是長方體(在圖7，

4、由可得圖7中的ADBC?平行六面體左面的平行四邊形的對角線相等，所以它是矩形.同理得該平行六面體的表面均是矩形，所以該平行六面體是長方體).①錯誤：因為長方體不一定是正方體.②正確：可證.③錯誤：可得從四面體每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條ABCCDABADDCB???????ABCD棱兩兩夾角之和為180，比如.④錯誤：如圖8，易證順180BACCADBADABDBDABAD?????????????次連接四面體的棱的中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.⑤正A

5、BCDABBCCDDAEFGH確：比如，從四面體的頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱可組成.ABCDABCD?圖7圖8題6(2012大綱全國理16)三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相111ABCABC?等，，則異面直線與所成角的余弦值為.1160BAACAA?????1AB1BC解法解法1.如圖9，作面于，由可得661AO??ABCO?1160BAACAA?????AO?是的平分線.設(shè)直線，則點(diǎn)是的中點(diǎn).BAC?AOBCO???OBC圖9由，得11cosco