基于伯努利試驗(yàn)的概率分布及其應(yīng)用

1、基于伯努利試驗(yàn)的概率分布及其應(yīng)用3莊光明于興江劉啟德孫守斌(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山東聊城252059)摘要在伯努利試驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到了伯努利分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、帕斯卡分布及多項(xiàng)分布討論了二項(xiàng)分布、超幾何分布、泊松分布、帕斯卡分布等幾種概率分布的關(guān)系并通過(guò)實(shí)際問(wèn)題對(duì)上述概率分布進(jìn)行了簡(jiǎn)單的應(yīng)用.關(guān)鍵詞伯努利試驗(yàn)概率分布二項(xiàng)分布泊松分布帕斯卡分布關(guān)系與應(yīng)用中圖分類號(hào)O211文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)167226634(2009)0320034

2、2040引言伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)是一種非常重要的概率模型它是“在同樣條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)”的一種數(shù)學(xué)模型.歷史上伯努利概型是概率論中最早研究的模型之一在理論上具有重要意義并且在工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)、群體遺傳學(xué)等方面都具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用.如果隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果:A及A則稱E為伯努利試驗(yàn).將E獨(dú)立、重復(fù)地進(jìn)行n次且A或A在每次試驗(yàn)中的概率保持不變則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).將伯努利試驗(yàn)中的試驗(yàn)結(jié)果由兩個(gè)推廣為r個(gè)

3、:A1A2Ar若P(Ai)=Pii=12r且∑ri=1Pi=1則稱這樣的試驗(yàn)為推廣的伯努利試驗(yàn).1伯努利試驗(yàn)中的概率分布由伯努利試驗(yàn)、n重伯努利試驗(yàn)和推廣的伯努利試驗(yàn)不難得出下列幾種概率分布1.1伯努利分布(Bernoullidistribution)在一次伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為p不出現(xiàn)的概率為q=1p即P(A)=pP(A)=q=1p.此時(shí)設(shè)隨機(jī)變量X=IA=1A發(fā)生0A不發(fā)生.則有P(X=k)=pkq1kk=01伯努利分布又稱

4、兩點(diǎn)分布或01分布.1.2二項(xiàng)分布(Binomialdistribution)n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為p則A出現(xiàn)X(X為隨機(jī)變量)次的概率為B(knp)=P(X=k)=Cknpkqnkk=012n.1.3幾何分布(Geometricdistribution)進(jìn)行重復(fù)、獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p失敗的概率為q=1p若將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止以隨機(jī)變量X表示所需試驗(yàn)次數(shù)則有P(X=k)=qk1pk=12.第22卷

5、第3期2009年9月聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofLiaochengUniversity(Nat.Sci.)Vol.22No.3Sep.20093收稿日期:2009203212基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70371061)聊城大學(xué)校級(jí)科研項(xiàng)目(X0810028)通信作者:于興江E2mail:yu.xingjiang@163.com.圖1oc曲線L(p)的圖形例自一工廠的產(chǎn)品中進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查共取200件樣品檢查結(jié)果

6、發(fā)現(xiàn)其中有4件廢品問(wèn)能否相信此工廠出廢品的概率不超過(guò)0.005解由題意知n=200c=4p0=0.005p1=4200=0.02則L(p0)=∑4k=0Сk200pk0(1p0)200k≈∑4k=01kk!e1≈0.6145L(p1)=∑4k=0Сk200pk1(1p1)200k≈∑4k=04kk!e4≈0.5748.令α=β=0.05則L(p0)≈0.6145β=0.05故在0.95的置信水平下拒絕不超過(guò)0.005的廢品率接受0.02

7、的廢品率.3.2泊松分布的應(yīng)用(母雞下蛋問(wèn)題)在一群母雞中每只母雞的年產(chǎn)蛋量可以用泊松分布來(lái)描述:把一年時(shí)間T分成n等分取n充分大每一個(gè)等分的間隔△t=Tn充分小于是在△t的時(shí)間內(nèi)母雞或者下一個(gè)蛋或者不下蛋設(shè)在△t的時(shí)間內(nèi)下一個(gè)蛋的概率為p并且在各個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)是否下蛋假定是相互獨(dú)立的這就構(gòu)成了一個(gè)伯努利概型于是在一年中下k個(gè)蛋的概率就是B(knp)由泊松定理得:P(X=k)=λkk!eλλ=npk=012所以每只母雞每年下蛋的個(gè)數(shù)X服從

8、參數(shù)為λ(λ0)的poisson分布記為X～P(λ).若每個(gè)雞蛋能孵化成小雞的概率為p且各個(gè)雞蛋能否孵化成小雞彼此獨(dú)立設(shè)每只母雞有Y只下一代小雞則Y為隨機(jī)變量.設(shè)事件A表示“每只母雞有k只下一代小雞”則由全概率公式得:P(A)=PY=k=∑∞i=kpY=k|X=ipX=i=∑∞i=kСkipk(1p)ikλii!eλ=(λp)kk!eλp所以此雞下一代的個(gè)數(shù)Y服從參數(shù)為λp的泊松分布記為Y～P(λp).3.3帕斯卡分布的應(yīng)用(巴拿赫火柴

9、盒問(wèn)題)某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴每盒都有n根火柴每次用火柴時(shí)他隨機(jī)地在兩盒中任取一盒并從中抽出一根.求該數(shù)學(xué)家用完一盒時(shí)另一盒還有r根火柴的概率.這個(gè)問(wèn)題就是歷史上經(jīng)典的巴拿赫火柴盒問(wèn)題從一盒中取一次火柴視為一次成功試驗(yàn)從另一盒中取一次火柴視為一次失敗的試驗(yàn)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帕斯卡分布.但是根據(jù)不同的假設(shè)會(huì)有兩個(gè)不同的答案.答案一不妨設(shè)該數(shù)學(xué)家能夠看到火柴盒里的火柴且甲盒為空則他一共在此盒里取了n次火柴在乙盒里取了nr次火柴且最后一次取火柴是從甲

10、盒里取出里面最后一根.由于數(shù)學(xué)家取火柴是隨機(jī)的所以從甲盒或乙盒取一次火柴的概率相等都是12.取火柴問(wèn)題即為2nr次重復(fù)、獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)中有n次成功nr次失敗且最后一次試驗(yàn)是成功的帕斯卡分布問(wèn)題:P2nrn12=Сn12nr112n112nr121=Сn12nr1122nr由甲、乙兩盒的對(duì)稱性得:P用完一盒時(shí)另一盒還有r根火柴=2P2nrn12=Сn12nr1122nr1.答案二不妨設(shè)該數(shù)學(xué)家不能看到火柴盒里的火柴且甲盒為空則他一共在此