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文檔簡介
1、1高中數學常用公式及結論大全 高中數學常用公式及結論大全(新課標 新課標)必修 必修 11、集合的含義與表示一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性:確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為:{元素|元素的特征},例如 } , 5 | { N x x x ? ? 且2、常用數集及其表示方法(1)自然數集 N(又稱非負整數集):0、1、2、3、…… (2)正整數集 N*或 N
2、+ :1、2、3、……(3)整數集 Z:-2、-1、0、1、…… (4)有理數集 Q:包含分數、整數、有限小數等(5)實數集 R:全體實數的集合 (6)空集Ф:不含任何元素的集合3、元素與集合的關系:屬于∈,不屬于?例如:a 是集合 A 的元素,就說 a 屬于 A,記作 a∈A4、集合與集合的關系:子集、真子集、相等(1)子集的概念如果集合 A 中的每一個元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集合
3、B 的子集(如圖 1),記作 或 . B A ? A B ?若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q,記作 Q P ?(2)真子集的概念若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一個元素不屬于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集(如圖 2). A B 或 B A. ? ? ? ?(3)集合相等:若集合 A 中的元素與集合 B 中的元素完全相同則稱集合 A 等于集合 B,記作 A=B. B A A B
4、 B A ? ? ? ? ,5、重要結論(1)傳遞性:若 , ,則 B A ? C B ? C A ?(2)空Ф集是任意集合的子集,是任意非空集合的 真子集.6、含有 個元素的集合,它的子集個數共有個;真子集有 –1 個;非空子集有 –1 個(即不計空集);非空的真 n 2n 2n 2n子集有 –2 個. 2n7、集合的運算:交集、并集、補集(1)一般地,由所有屬于 A 又屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集.記作 A
5、∩B(讀作"A 交 B") ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} .(2)一般地,對于給定的兩個集合 A,B 把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做 A,B 的并集.記作 A∪B(讀作"A 并 B") ,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} .(3)若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不屬于 A 的元素構成的集合,叫做 A 在 U 中的補集,記作 , A CU ? ? A , U | A CU ? ? ? x x x 且注
6、:討論集合的情況時,不要發(fā)遺忘了 的情況。 ? ? A8、映射觀點下的函數概念如果 A,B 都是非空的數集,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函數,記作 y=f(x),其中 x∈A,y∈B.原象的集合 A 叫做函數 y=f(x)的定義域,象的集合 C(C B)叫做函數 y=f(x)的值域.函數符號 y=f(x)表示“y 是 x 的函 ?數” ,有時簡記作函數 f(x).9、分段函數:在定義域的不同部分,有不同的
7、對應法則的函數。如? ? ?? ?? ?31 22 xx y00??xx10、求函數的定義域的原則:(解決任何函數問題,必須要考慮其定義域)①分式的分母不為零; 0 1 , 11 : ? ? ? ? x x y 則 如②偶次方根的被開方數大于或等于零; 0 5 , 5 : ? ? ? ? x x y 則 如③對數的底數大于0且不等于1; 1 0 ), 2 ( log : ? ? ? ? a a x y a 且 則 如④對數的真數大于0;
8、 0 2 ), 2 ( log : ? ? ? ? x x y a 則 如⑤指數為0的底不能為零; ,則 x m y ) 1 ( : ? ? 如 0 1 ? ? m11、函數的奇偶性(在整個定義域內考慮)(1)奇函數滿足 , 奇函數的圖象關于原點對稱; ) ( ) ( x f x f ? ? ?(2)偶函數滿足 , 偶函數的圖象關于 y 軸對稱; ) ( ) ( x f x f ? ?注:①具有奇偶性的函數,其定義域關于原點對稱;
9、 ②若奇函數在原點有定義,則 0 ) 0 ( ? f③根據奇偶性可將函數分為四類:奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數、非奇非偶函數。12、函數的單調性(在定義域的某個區(qū)間內考慮)當 時,都有 ,則 在該區(qū)間上是增函數,圖象從左到右上升; 2 1 x x ? ) ( ) ( 2 1 x f x f ? ) (x f當 時,都有 ,則 在該區(qū)間上是減函數,圖象從左到右下降。 2 1 x x ? ) ( ) ( 2 1 x f x f
10、? ) (x f函數 在某區(qū)間上是增函數或減函數,那么說 在該區(qū)間具有單調性,該區(qū)間叫做單調(增/減)區(qū)間 ) (x f ) (x f13、一元二次方程 2 0 ax bx c ??? ( 0) a ?(1)求根公式:(2)判別式: aac b b x 24 22 , 1? ? ? ? ac b 4 2 ? ? ?(3) 時方程有兩個不等實根; 時方程有一個實根; 時方程無實根。 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ?(4)根與系數的關系—
11、—韋達定理: , ab x x ? ? ? 2 1 ac x x ? ? 2 114、二次函數:一般式 ; 兩根式 c bx ax y ? ? ? 2 ( 0) a ? ) )( ( 2 1 x x x x a y ? ? ? ( 0) a ?(1)頂點坐標為 ;(2)對稱軸方程為:x= ;2 4 ( , ) 2 4b ac ba a? ? ab2 ?(3)當 時,圖象是開口向上的拋物線,在 x= 處取得最小值 0 ? a ab2 ?
12、 ab ac44 2 ?當 時,圖象是開口向下的拋物線,在 x= 處取得最大值 0 ? a ab2 ? ab ac44 2 ?(4)二次函數圖象與 軸的交點個數和判別式 的關系: x ?時,有兩個交點; 時,有一個交點(即頂點) ; 時,無交點。 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ?15、函數的零點使 的實數 叫做函數的零點。例如 是函數 的一個零點。 0 ) ( ? x f 0 x 1 0 ? ? x 1 ) ( 2 ? ? x x f
13、注:函數 有零點 函數 的圖象與 軸有交點 方程 有實根 ? ? x f y ? ? ? ? x f y ? x ? ? ? 0 ? x f16、函數零點的判定:B A A,B(圖 1)或B A(圖 2)A B ?A B ?A CU Axy03必修 必修 230、邊長為 的等邊三角形面積 a 243 a S ? ? 正31、柱體體積: ,錐體體積: 球表面積公式: , 球體積公式: h 底 柱=S V h 錐 底 = S 31 V 2
14、4 R S ? ? 球334 R V ? ?32、四個公理:① 如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內。② 過不在一條直線上 不在一條直線上的三點,有且僅有一個平面。③ 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且僅有一條過該點的公共直線。④ 平行于同一直線的兩條直線平行(平行的傳遞性) 。33、等角定理:空間中如果兩個角的兩邊對應平行,那么這兩個角相等或互補(如圖)34、兩條直線的位置關系:? ?? ? ?? ?
15、?異面直線 相交 平行 共面直線直線與平面的位置關系:(1)直線在平面上;(2)直線在平面外(包括直線與平面平行,直線與平面相交)兩個平面的位置關系:(1)兩個平面平行;(2)兩個平面相交35、直線與平面平行:定義 定義 一條直線與一個平面沒有公共點,則這條直線與這個平面平行。判定 判定 平面外一條直線與此平面內的一直線平行,則該直線與此平面平行。性質 性質 一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。3
16、6、平面與平面平行:定義 定義 兩個平面沒有公共點,則這兩平面平行。判定 判定 若一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平 行。性質 性質 ① 如果兩個平面平行,則其中一個面內的任一直線與另一個平面平行。② 如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們交線平行。37、直線與平面垂直:定義 定義 如果一條直線與一個平面內的任一直線都垂直,則這條直線與這個平面垂直。判定 判定 一條直線與一個平面內的兩相交直線垂直,則這條
17、直線與這個平面垂直。性質 性質 ①垂直于同一平面的兩條直線平行。②兩平行直線中的一條與一個平面垂直,則另一條也與這個平面垂直。38、平面與平面垂直:定義 定義 兩個平行相交,如果它們所成的二面角是直二面角,則這兩個平面垂直。判定 判定 一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。性質 性質 兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。39、三角形的五“心”(1) 為 的外心(各邊垂直平分線的交點).外心到三個頂點的距離
18、相等 O ABC ?(2) 為 的重心(各邊中線的交點).重心將中線分成 2:1 的兩段 O ABC ?(3) 為 的垂心(各邊高的交點). O ABC ?(4) 為 的內心(各內角平分線的交點). 內心到三邊的距離相等 O ABC ?(5) 為 的 的旁心(各外角平分線的交點). O ABC ? A ?40、直線的斜率:(1) 過 兩點的直線,斜率 , ( ) ? ? ? ? 2 2 1 1 , , , y x B y x A1 21
19、 2x xy y k ?? ? 2 1 x x ?(2)已知傾斜角為 的直線,斜率 ( ? ? tan ? k ) 900 ? ?(3)曲線 在點( 處的切線,其斜率 ) (x f y ? ) , 0 0 y x ) ( 0 x f k ? ?41、直線位置關系:已知兩直線 ,則 2 2 2 1 1 1 : , : b x k y l b x k y l ? ? ? ?1 // 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ? ? ? ? ?
20、 ? ? k k l l b b k k l l 且特殊情況:(1)當 都不存在時, ;(2)當 不存在而 時, 2 1,k k 2 1 //l l 1 k 0 2 ? k 2 1 l l ?42、直線的五種方程 :①點斜式 (直線 過點 ,斜率為 ). 1 1 ( ) y y k x x ??? l ) , ( 1 1 y x k②斜截式 (直線 在 軸上的截距為 ,斜率為 ). y kx b ?? l y b k③兩點式 (直線過兩
21、點 與 ). 1 12 1 2 1y y x xy y x x?? ? ?? ) , ( 1 1 y x ) , ( 2 2 y x④截距式 ( 分別是直線在 軸和 軸上的截距,均不為 0) 1 ? ? byax b a, x y⑤一般式 (其中 A、B 不同時為 0);可化為斜截式: 0 Ax By C ??? BC x BA y ? ? ?43、 (1)平面上兩點 間的距離公式:|AB|= ) , ( ), , ( 2 2 1
22、1 y x B y x A 22 122 1 ) ( ) ( y y x x ? ? ?(2)空間兩點 距離公式|AB|= ) , , ( ), , , ( 2 2 2 1 1 1 z y x B z y x A 22 122 122 1 ) ( ) ( ) ( z z y y x x ? ? ? ? ?(3)點到直線的距離(點 ,直線 : ). 0 02 2| | Ax By C dA B?? ??0 0 ( , ) P x y l
23、0 Ax By C ???44、兩條平行直線 與 間的距離公式: 0 A 1 ? ? ? C By x 0 A 2 ? ? ? C By x2 22 1B AC C d?? ?注:求直線 的平行線,可設平行線為 ,求出 即得。 0 A ? ? ? C By x 0 A ? ? ? m By x m45、求兩相交直線 與 的交點:解方程組 0 A 1 1 1 ? ? ? C y B x 0 A 2 2 2 ? ? ? C y B x ?
24、? ?? ? ?? ? ?0 A0 A2 2 21 1 1 C y B xC y B x46、圓的方程:①圓的標準方程 . 其中圓心為 ,半徑為 2 2 2 ( ) ( ) x a y b r ???? ) , ( b a r②圓的一般方程 . 2 2 0 x y Dx Ey F ?????其中圓心為 ,半徑為 ,其中 >0 ) 2 , 2 ( E D ? ? 24 2 2 F E D r ? ? ? 2 2 4 D E F ??
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