第12講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第 12 講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、 一、 知識(shí)清單梳理 知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念及解析式 知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念及解析式 關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例 關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.一次函數(shù)的定義形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).例：如果函數(shù) y=(a－1)x2 是二次函數(shù)，那么 a 的取值范圍是 a≠0.2.解析式（1）三種解析式：①一般式

2、：y=ax2+bx+c;②頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）; ③交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 為拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組） ；解方程（組） ，求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式.若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值，可設(shè)頂點(diǎn)式

3、；若已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)交點(diǎn)式.知識(shí)點(diǎn)二 知識(shí)點(diǎn)二 ：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象xyy=ax2+bx+c(a上 0)Oxyy=ax2+bx+c(a上 0)O開口 向上 向下對(duì)稱軸 x＝ 2ba ?頂點(diǎn) 坐標(biāo)2 4 , 2 4b ac ba a? ? ? ? ? ?? ?增減性當(dāng) x> 時(shí)，y 隨 x 的增大而增 2ba ?大；當(dāng) x＜ 時(shí)，y 隨 x 的增大而2ba ?減小 減小

4、.當(dāng) x> 時(shí)，y 隨 x 的增大而減 2ba ???；當(dāng) x＜ 時(shí)，y 隨 x 的增大 2ba ?而增大 增大.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)最值 x= ， y 最?。?. 2ba ?2 44ac ba? x= ， y 最大＝ . 2ba ?2 44ac ba?（1）比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法：①直接代入求值法；②性質(zhì)法：當(dāng)自變量在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；當(dāng)自變量在對(duì)稱軸異側(cè)時(shí)，可先利用函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè)，再利用性質(zhì)比較

5、；④圖象法：畫出草圖，描點(diǎn)后比較函數(shù)值大小.失分點(diǎn)警示 失分點(diǎn)警示（2）在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時(shí)，首先考慮對(duì)稱軸是否在取值范圍內(nèi)，而不能盲目根據(jù)公式求解.例：當(dāng) 0≤x≤5 時(shí)，拋物線y=x2+2x+7 的最小值為 7 .a決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng) a＞0 時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng) a＜0 時(shí)，拋物線開口向下.a、 b 決定對(duì)稱軸（x=-b/2a）的位置當(dāng) a，b 同號(hào)，-b/2a＜0，對(duì)稱軸在 y 軸左邊； 當(dāng) b＝

6、0 時(shí)， -b/2a=0，對(duì)稱軸為 y 軸；當(dāng) a，b 異號(hào)，-b/2a＞0，對(duì)稱軸在 y 軸右邊．c決定拋物線與 y 軸的交點(diǎn)的位置當(dāng) c＞0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在正半軸上； 當(dāng) c＝0 時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng) c＜0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.3.系數(shù)a、b、cb2－4ac決定拋物線與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2－4ac＞0 時(shí)，拋物線與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn);b2－4ac＝0 時(shí)，拋物線與 x 軸有 1 個(gè)交點(diǎn);某

7、些特殊形式代數(shù)式的符號(hào)：① a±b+c 即為 x=±1 時(shí)，y的值；②4a±2b+c 即為 x=±2 時(shí)，y 的值.③ 2a+b 的符號(hào)，需判斷對(duì)稱軸-b/2a 與 1 的大小.若對(duì)稱軸在直線 x=1 的左邊，則-b/2ab2－4ac＜0 時(shí)，拋物線與 x 軸沒有交點(diǎn) ＞1，再根據(jù) a 的符號(hào)即可得出結(jié)果.④2a-b 的符號(hào)，需判斷對(duì)稱軸與-1 的大小.知識(shí)點(diǎn)三 知識(shí)點(diǎn)三 ：二次函數(shù)的平移 ：二次

8、函數(shù)的平移4.平移與解析式的關(guān)系上 上 |k|上 上 上 上 上 |h|上 上 上上 上 (k上 0)上 上 上 (k上 0) 上 上 (h上 0)上 上 上 (h上 0)y=a(x上 h)2上 k上 上 上y=a(x上 h)2上 上 上y=ax2上 上 上注意 注意：二次函數(shù)的平移實(shí)質(zhì)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移，因此只要找出原函數(shù)頂點(diǎn)的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式失分點(diǎn)警示： 失分點(diǎn)警示：拋物線平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”,左右平移易

9、弄反.例：將拋物線 y=x2 沿 x 軸向右平移 2 個(gè)單位后所得拋物線的解析式是 y=（x－2）2．知識(shí)點(diǎn)四 知識(shí)點(diǎn)四 ：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式 ：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式5.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù) y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 當(dāng) Δ＝b2－4ac＞0，兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng) Δ＝b2－4ac＝0，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) Δ＝b2－4