“圖形與變換” 的備課與教學

1、“圖形與變換”的備課與教學 “圖形與變換”的備課與教學曹培英一、引進的背景。為什么要在中小學引進圖形與變換的內容？不妨從數學本身和數學教育的歷史視角切入討論。我們知道，約公元前 300 年，古希臘著名數學家歐幾里得在前人基礎上寫成的不配名著《幾何原本》 ，幾乎包括了中小學所學習的平面幾何、立體幾何的全部內容。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學課程改革關注的焦點。其中最為激進的，如法國布爾巴基學派主要人物狄奧東尼甚至喊出了“歐幾里得滾出

2、去”的口號。但改來改去，歐氏幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學數學幾何部分的主要內容。有人稱之為“不倒翁現象” 。這是因為，從數學的視角歐氏幾何提供了現實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們人類的生存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關系。這個模型的基本內容是學生能夠理解和掌握的，并且應用廣泛，也有利于引導中小學生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學習價值，但在以往的教學中

3、，它又確實暴露出一些問題。例如內容體系比較封閉，脫離實際，教學代價太大，等等。這些問題需要數學課程的設計者與數學教學的實踐者共同去面對、解決。怎樣改造這些傳統的、古老的幾不再存在（相似比為 1 除外） 。于是兩線段的比不變，又成了相似變換下的不變量。正是這些建筑在不變量和不變性基礎上的圖形性質，構成了我們所研究的幾何基本內容。從國際數學課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀 60 年代的“新數學”改革的浪潮中，將運動觀點

4、引入幾何，成了一種時尚。特別是平移、旋轉以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說集合與對應的思想的滲透，在某種意義上給傳統算術與代數注入了新的血液，那么運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學觀點和更新的研究視野。由此可以說，將圖形變換的觀點和內容適當地引入我國基礎教育的數學課程中，順應了數學科學和數學教育的發(fā)展趨向。從兒童的生活世界來看，他們已經接觸到了大量的物體、圖形

5、的平移、旋轉或軸對稱變換現象。例如，電梯、地鐵列車車廂在平行移動，時針、電風扇葉片在旋轉，許多動物、建筑物的開頭具有對稱性。這些現象為兒童學習圖形的變換提供了豐富多彩的現實背景。反過來，學習一點圖形的變換知識，也有助于兒童更好地觀察、認識周圍生活中的這些現象。從兒童的年齡特征與認知特點來看，小學生正處在好奇心濃厚的階段，通過圖形的變換可以引出無數美妙和圖案，使數學更生動地與現實世界聯系起來，從而誘發(fā)學生主動探索奧秘，激勵他們用圖形變換的