離散型隨機(jī)變量的期望值和方差講義

1、離散型隨機(jī)變量的期望值和方差 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差一、基本知識(shí)概要： 一、基本知識(shí)概要：1、 期望的定義： 期望的定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ x1 x2 x3 … xn …P P1 P2 P3 … Pn …則稱 Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+xnPn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，簡(jiǎn)稱期望。它反映了 它反映了:離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。若η=aξ+b(a、b 為常數(shù))，則η也是隨機(jī)變量，且 Eη

2、=aEξ+b。 E(c)= c特別地，若ξ～ B(n，P)，則 Eξ=nP2、 方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義： 方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(xn-Eξ)2·Pn+…稱為隨機(jī)變量ξ的方差。Dξ的算術(shù)平方根 =δξ叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。 ? D隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了:隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。且有 D(aξ+b)

3、=a2Dξ,可以證明 Dξ=Eξ2- (Eξ)2。若ξ～B(n，p)，則 Dξ=npq，其中 q=1-p.3、特別注意： 、特別注意：在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望和方差時(shí)，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要準(zhǔn)確應(yīng)用公式，特別是充分利用性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度。二、例題： 二、例題：例 1、 （1）下面說(shuō)法中正確的是 （ ）A．離散型隨機(jī)變量

4、ξ的期望 Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。B．離散型隨機(jī)變量ξ的方差 Dξ反映了ξ取值的平均水平。C．離散型隨機(jī)變量ξ的期望 Eξ反映了ξ取值的平均水平。D．離散型隨機(jī)變量ξ的方差 Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。（2） 、 （2001 年高考題）一個(gè)袋子里裝有大小相同的 3 個(gè)紅球和 2 個(gè)黃球，從中同時(shí)取出兩個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 。例 2、設(shè) 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，試求 E 、D ? ?