2017年高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、12017 2017 年高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 年高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（考試時(shí)間： （考試時(shí)間：5 月 14 14 日上午 日上午 8：30 30－11 11：00 00）一、選擇題（每小題 一、選擇題（每小題 6 分，共 分，共 36 36 分） 分）1．已知集合 ，則集合 中所有元素的和為（ ） 2 0 3x A x x Z x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， AA．B．0

2、C．2 D．3 1 ?【答案】 【答案】 B 【解答】 【解答】由 ，得 。又 。因此 。 2 0 3xx? ? ? 2 3 x ? ? ? x Z ? ? ? 2 1 0 1 2 A ? ? ? ，，，，所以，集合 中所有元素的和為 0。 A2．已知正三棱錐 的三條側(cè)棱 、 、 兩兩互相垂直，若三棱錐 A BCD ? AB AC AD外接球的表面積為 ，則三棱錐 的體積為 A BCD ? 3? A BCD ?（

3、 ）A．B．C．D． 43231619【答案】 【答案】 C 【解答】 【解答】設(shè) ，則三棱錐 外接球的 AB AC AD a ? ? ? A BCD ?半徑 。 32 R a ?由 ，得 。 2 4 3 R ? ? ? 32 R ?∴ ，三棱錐 的體積 。 1 a ? A BCD ? 3 1 16 6 V a ? ?3．已知 為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù) ，使得 ，且 ，則 的取值范圍為 x y 2 0 x y ? ? 2 3

4、 xy x y ? ? x（ ）A．B．( 4 3) (0 ) ? ? ? ? ? ，， (0 2) (4 ) ? ? ? ，，C．D． ( 4) ( 3 0) ?? ? ? ? ，， ( 0) (2 4) ?? ? ，，【答案】 【答案】 C 【解答】 【解答】 由 ，得 2 3 xy x y ? ? 23x y x ? ?∵ ， 2 0 x y ? ?∴ ，即 ，解得 2 2 0 3x x x ?

5、 ? ?( 4) 0 3x xx? ? ?或 。 4 x ? ? 3 0 x ? ? ?B DCA（第 （第 2 題圖） 圖）36．已知 ， ， ，若 ，且 ，則 的最小值為 a b c R ? 2 2 2 1 a b c ? ? ? ( 1)( 1)( 1) a b c abc ? ? ? ? a（ ）A．B．C．D． 16 ? 15 ? 14 ? 13 ?【答案】 【答案】 D 【解答】 【解答】 由 ，得 。 ( 1)

6、( 1)( 1) a b c abc ? ? ? ? 1 abc ab bc ca a b c abc ? ? ? ? ? ? ? ?∴ 。 1 ab bc ca a b c ? ? ? ? ? ?設(shè) ，則 。 a b c x ? ? ? 1 ab bc ca x ? ? ? ?∵ ， 2 2 2 2 ( ) 2( ) 1 a b c a b c ab bc ca ? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ ，解得 ，即 ， 。

7、2 2( 1) 1 x x ? ? ? 1 x ? 1 a b c ? ? ? 0 ab bc ca ? ? ?∴ ，即 。 ( ) 0 ab a b c ? ? ? ( )(1 ) 0 ab a b a b ? ? ? ? ?∴ ，即 。 2 2 0 a b ab a b ? ? ? ? ? 2 2 ( 1) 0 b a b a a ? ? ? ? ?由 ， 知， 。 a b R ? 2 2 ( 1) 4( ) 0 a a a

8、 ? ? ? ? ? △∴ ，解得 。因此， 。 2 3 2 1 0 a a ? ? ? 1 1 3 a ? ? ? 13 a ? ?又當(dāng) 時(shí)，代入前面解得， 。符合題設(shè)要求。 13 a ? ? 23 b c ? ?∴ 的最小值為 。 a 13 ?二、填空題（每小題 二、填空題（每小題 6 分，共 分，共 36 36 分） 分）7．已知定義在 上的函數(shù) （ ，且 ）的值域也是 ? ? 1 0 ? ， ( ) log ( ) a

9、f x x m ? ? 0 a ? 1 a ? ? ? 1 0 ? ，，則 的值為 。 a m ?【答案】 【答案】 52【解答】 【解答】當(dāng) 時(shí)， 在 上為增函數(shù)，依題意有 1 a ? ( ) f x ? ? 1 0 ? ，，方程組無解。 ( 1) log ( 1 ) 1(0) log (0 ) 0aaf mf m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)， 在 上為減函數(shù)，依題意有 0 1 a ?