兩個函數(shù)中的存在性和任意性問題的辨析

1、兩個函數(shù)中的存在性和任意性問題的辨析安徽省太和縣太和中學(xué) 岳 峻 郵箱：tzh5197jun@163.com 手機：高考中經(jīng)常出現(xiàn)兩個變量的任意性或存在性問題，是高考的熱點之一．此類問題中，特別是全稱量詞“任意 ”和特稱量詞“存在 ”插足函數(shù)，使得函數(shù)問題撲朔迷離，意深難懂，同時題目也因此 ? ? ? ? ? ?顯得富有變化和新意，往往讓學(xué)生們混淆不清、不知所措．事實上，揭開量詞隱含的神秘面紗還函數(shù)問題本來面目，需要深刻理解問題的本質(zhì)

2、，善于運用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，可以把相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系，不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值大小的比較，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題．本文通過研究具體函數(shù)及其圖象，談?wù)労瘮?shù)中有關(guān)任意性和存在性問題的轉(zhuǎn)化策略，將任意性與存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域關(guān)系或最值關(guān)系，并得到雙變量的存在性和任意性問題的辨析方法，希望對同學(xué)們有所啟發(fā)．類型 類型 1.任意 任意 ，使得 ，使得 ，只需 ，只需 其等價轉(zhuǎn)化的基本思想 其等

3、價轉(zhuǎn)化的基本思想 x ? ? ( ) f x g x ? ? ? ? ? min ( ) min 0. h x f x g x ? ? ? ? ? ? ?是：給定 是：給定任意一個 任意一個 的值，函數(shù) 的值，函數(shù) 的對應(yīng)函數(shù)值都大于 的對應(yīng)函數(shù)值都大于 的對應(yīng)函數(shù)值 的對應(yīng)函數(shù)值.（如圖 （如圖 1） x ( ) y f x ? ? ? y g x ?? ? f x? ? g x圖 1類型 類型 2.存在 存在 ，使得 ，使得 ，只需

4、 ，只需 .其等價轉(zhuǎn)化的基本思 其等價轉(zhuǎn)化的基本思 x ? ? ( ) f x g x ? ? ? ? ? max ( ) max 0 h x f x g x ? ? ? ? ? ? ?想是：存在 想是：存在一個 一個 的值，函數(shù) 的值，函數(shù) 的對應(yīng)函數(shù)值大于 的對應(yīng)函數(shù)值大于 的對應(yīng)函數(shù)值 的對應(yīng)函數(shù)值.（如圖 （如圖 2） x ( ) y f x ? ? ? y g x ?【例 1】 （2014 年陜西理科 21 改編）設(shè)函數(shù) 是

5、的導(dǎo)函 ? ? ? ? ( ) ln 1 , ( ), ( ) f x x g x axf x f x ? ? ? ? ? ( ) f x數(shù).（1）若對于任意 ，總有 求實數(shù) 的取值范圍； 0 x ? ? ? ( ) , f x g x ? a（2）若存在 ，使得 求實數(shù) 的取值范圍. 0 x ? ? ? ( ) , f x g x ? a? ? f x? ? g x圖 2? ? ? ?21 . 1 g x x x ? ?（1）若 ，使

6、得 ，求實數(shù) 的取值范圍. ? ? 1 21 , 1 , , 2 x x ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f x g x ? a（2）當(dāng) 時，證明：對于任意的 ，都存在 ，使得 . 32 a ? 1 (2, ) x ? ?? 2 (1, ) x ? ?? 1 2 ( ) ( ) f x g x ?【解析】 （1）因為 ，所以 . ( )2 3 23 f x x ax = - ( ) (

7、 )2 2 2 2 1 f x x ax x ax ¢ = - = -令 得 或 . ( ) 0 f x ¢ = 0 x = 1a因為當(dāng) 時， 單調(diào)遞減，當(dāng) 時， 單調(diào)遞增，當(dāng) 時， 單調(diào)遞 0 x ( ) f x減， . ( ) 3 0 0 2 f f aæ ö ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç è ø所以， 在 上

8、單調(diào)遞減， 在 上的值域為 ( ) f x ( ] , 1 - ¥ - ( ) f x ( ] , 1 - ¥ - 2 1 , . 3a é ö ÷ ê+ + ¥ ÷ ÷ ê ø ë又 ? ? ? ?21 . 1 g x x x ? ? ? ?? ? ? ?22 2 2 3 3 2 31 3 2 3 2 .1x x x

9、 g x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時， 單調(diào)遞增， 在 上的值域為 12 x ? ? g x ? ? 1 8. 2 3 g x g ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g x 1 , 2æ ö ÷ ç - ¥ - ÷ ç ÷ ç è ø8 , . 3

10、30; ö ÷ ç - ¥ ÷ ç ÷ ç è ø若 ，使得 ，則： ? ? 1 21 , 1 , , 2 x x ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f x g x ? 2 8 5 1 , . 3 3 2a a + < <故實數(shù) 的取值范圍 a 5 0, . 2æ &

11、#246; ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø（2）因為 ，所以 . ( )2 3 f x x x = - ( )2 2 2 3 3 3 f x x x x x æ ö ÷ ç ¢ = - = - ÷ ç ÷ ç è ø分析可知， 在 單調(diào)遞減，且 (