函數、導數“任意、存在”型問題歸納

1、1函數導數任意性和存在性問題探究導學語函數導數問題是高考試題中占比重最大的題型，前期所學利用導數解決函數圖像切線、函數單調性、函數極值最值等問題的方法，僅可稱之為解決這類問題的“戰(zhàn)術”，若要更有效地徹底解決此類問題還必須研究“戰(zhàn)略”，因為此類問題是函數導數結合全稱命題和特稱命題形成的綜合性題目.常用戰(zhàn)略思想如下：題型分類解析一單一函數單一“任意”型戰(zhàn)略思想一：“，恒成立”等價于“當時，?xA?()()afx??xA?”；max()()a

2、fx??“，恒成立”等價于“當時，”.?xA?()()afx??xA?min()()afx??例1：已知二次函數，若時，恒有，求實數a的取值范圍.2()fxaxx???[01]x?|()|1fx?解：，∴；即；?|()|1fx?211axx????211xaxx?????當時，不等式顯然成立，∴a∈R.0x?當時，由得：，01x??211xaxx?????221111axxxx?????而，∴.又∵，∴，min211()0xx??0a?

3、max211()2xx????220aa??????綜上得a的范圍是.[20]a??二單一函數單一“存在”型戰(zhàn)略思想二：“，使得成立”等價于“當時，?xA?()()afx??xA?”；min()()afx??“，使得成立”等價于“當時，”.?xA?()()afx??xA?max()()afx??例2.2.已知函數()，若存在，使得成立，求實數2()lnfxaxx??aR?[1]xe?()(2)fxax??的取值范圍.a解析：xxxxa2

4、)ln(2???.()(2)fxax???∵，∴xx??1ln且等號不能同時取，所以xx?ln，即0ln??xx，[1]xe?因而xxxxaln22???，，[1]xe?令xxxxxgln2)(2???]1[ex?，又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg??????，af(x)上上f(x)上上af(x)上上f(x)上上3由已知，又，∴，1212()()0fxfxxx???120xx??12()()0fxfx??即在上為增函數.

5、()fx[11]?∵，∴，恒有；(1)1f?[11]x??()1fx?∴要使對所有，恒成立，2()21fxtat???[11]x??[11]a??即要恒成立，故恒成立，2211tat???220tat??令，只須且，2()2gaatt???(1)0g??(1)0g?解得或或.2t??0t?2t?戰(zhàn)略思想六：（為常數）成立為常數）成立t=21Axx??txfxf??|)()(|21t?minmax)()(xfxf?例6.已知函數，則對任意

6、（）都有恒43()2fxxx???121[2]2tt??12tt???|)()(|21tftf成立，當且僅當=____，=____時取等號.1t2t解：因為恒成立，12maxmin|()()||[()][()]|fxfxfxfx???由，431()2[2]2fxxxx?????易求得，，max327[()]()216fxf??min15[()]()216fxf????∴.12|()()|2fxfx??戰(zhàn)略思想七：21Axx??|||)(

7、)(|2121xxtxfxf????txxxfxf???|)()(|2121?)0(t|)(|??txf例7.已知函數滿足：(1)定義域為；(2)方程至少有兩個實根和；()yfx?[11]?()0fx?1?1(3)過圖像上任意兩點的直線的斜率絕對值不大于1.()fx(1)證明:；(2)證明：對任意，都有.|(0)|1f?12[11]xx??12|()()|1fxfx??證明(1)略；(2)由條件(2)知，(1)(1)0ff???不妨設，