導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

1、1利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根函數(shù)與x軸即方程根的個(gè)數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；1、已知函數(shù)()exfxx??R.(Ⅰ)求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(10)處的切線方程(Ⅱ)證明:曲線y=f(x)與曲線2112yxx??

2、?有唯一公共點(diǎn).【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函數(shù)xxgln)(?則y=g(x)過點(diǎn)(10)的切線斜率k=(1)g.1(1)gx1(x)g????k.過點(diǎn)(10)的切線方程為:y=x1(Ⅱ)證明曲線y=f(x)與曲線1212???xxy有唯一公共點(diǎn)過程如下.則令121121)()(22Rxxxexxxfxhx?????????0)0(0)0(0)0(1)()(1)(????????hhhexhxhxexhxx，，且的導(dǎo)數(shù)因此單調(diào)遞增時(shí)當(dāng)

3、單調(diào)遞減時(shí)當(dāng))(0)(0)(0)(0xhyxhxxhyxhx????????0)(0)0()(??????xRxhyhxhy個(gè)零點(diǎn)上單調(diào)遞增，最多有一在所以所以曲線y=f(x)與曲線1212???xxy只有唯一公共點(diǎn)(01).(證畢)2、已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).()1xafxxe???aR?e(1)求函數(shù)的極值()fx(2)當(dāng)?shù)闹禃r(shí)若直線與曲線沒有公共點(diǎn)求的最大值.1a?:1lykx??()yfx?k(1)??1xafxe???①

4、當(dāng)時(shí)為上的增函數(shù)所以函數(shù)無極值.0a???0fx????fx????????fx②當(dāng)時(shí)令得.0a???0fx??xea?lnxa?.??lnxa?????0fx????lnxa?????0fx??所以在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增??fx??lna????lna??故在處取得極小值且極小值為無極大值.??fxlnxa???lnlnfaa?3∴在區(qū)間上恒成立0)1()(2?????xkxxf)2(??即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為xk??1

5、2?x21??k1?kk1?k（2）設(shè)，312)1(3)()()(23???????kxxkxxgxfxh)1)(()1()(2????????xkxkxkxxh令得或由（1）知，0)(??xhkx?1?x1?k①當(dāng)時(shí)，，在R上遞增，顯然不合題意…1?k0)1()(2????xxh)(xh②當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：1?k)(xh)(xh?xx)(k??k)1(k1)1(??)(xh??0—0?)(xh↗極大值312623???kk↘

6、極小值21?k↗由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，021??k)(xf)(xg0)(?xh故需，即∴，解得0312623????kk0)22)(1(2????kkk???????02212kkk31??k綜上，所求的取值范圍為k31??k4、已知函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)????ln()xfxeaa??為常數(shù)????singxfxx???間[一1，1]上的減函數(shù)(I)求a的值；(II)若在x∈[一1，1

7、]上恒成立，求t的取值范圍??21gxtt????(Ⅲ)討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)。2ln2()xxexmfx???解：（I）是奇函數(shù)，則恒成立.)ln()(aexfx??(0)0f?0ln()0.ea???（II）又在[－1，1]上單調(diào)遞減，010.eaa?????)(xg?1sin)1()(max???????gxg11sin2??????tt??只需令.)1(011sin)1(2恒成立其中??????????tt)1(11sin)