實(shí)例動(dòng)物種群的相互競(jìng)爭(zhēng)與相互依存的模型

1、實(shí)例 實(shí)例 2 動(dòng)物種群的相互競(jìng)爭(zhēng)與相互依存的模型 動(dòng)物種群的相互競(jìng)爭(zhēng)與相互依存的模型在生物的種群關(guān)系中,一種生物以另一種生物為食的現(xiàn)象,稱(chēng)為捕食.一般說(shuō)來(lái),由于捕食關(guān)系,當(dāng)捕食動(dòng)物數(shù)量增長(zhǎng)時(shí),被捕食動(dòng)物數(shù)量就逐漸下降,捕食動(dòng)物由于食物來(lái)源短缺,數(shù)量也隨之下降,而被捕食動(dòng)物數(shù)量卻隨之上升.這樣周而復(fù)始,捕食動(dòng)物與被捕食動(dòng)物的數(shù)量隨時(shí)間變化形成周期性的震蕩.田鼠及其天敵的田間種群消長(zhǎng)動(dòng)態(tài)規(guī)律也是如此.實(shí)驗(yàn)調(diào)查數(shù)據(jù)表明:無(wú)論是田鼠還是其天敵

2、的數(shù)量都呈周期性的變化,天鼠與天敵的作用系統(tǒng)隨時(shí)間序列推移,田鼠密度逐漸增加,其天敵隨之增加,但時(shí)間上落后一步.由于天敵密度增加,則田鼠密度降低,而田鼠密度的降低,則其天敵密度亦減少,如此往復(fù)循環(huán),從而形成一定的周期.試用數(shù)學(xué)模型來(lái)概括這一現(xiàn)象,并總結(jié)出其數(shù)量變化的近似公式.一 問(wèn)題分析及模型的建立 問(wèn)題分析及模型的建立設(shè) 和 分別表示 時(shí)刻田鼠與其天敵的數(shù)量,如果單獨(dú)生活,田鼠的增長(zhǎng)速度正比 ) (t x ) (t y t于當(dāng)時(shí)的數(shù)量

3、,即x dtdx ? ?而田鼠的天敵由于沒(méi)有被捕食對(duì)象,其數(shù)量減少的速率正比于當(dāng)時(shí)的數(shù)量,即y dtdy ? ? ?現(xiàn)在田鼠與其天敵生活一起,田鼠一部分遭到其天敵的消滅,于是以一定的速率 減少, ?減少的數(shù)量正比于天敵的數(shù)量,因此有x y dtdx ) ( ? ? ? ?類(lèi)似地,田鼠的天敵有了食物,數(shù)量減少的速率 減少 ,減少的量正比于田鼠的數(shù)量,因 ? ?此有y x dtdy ) ( ? ? ? ? ?上述公式,最后兩個(gè)方程聯(lián)合起來(lái)稱(chēng)

4、為 Volterra-Lot 方程,這里 均為正數(shù),初始條件 ? ? ? ? , , ,為0 0 ) 0 ( , ) 0 ( y y x x ? ?現(xiàn)在通過(guò)實(shí)驗(yàn)調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)如表,此數(shù)據(jù)為每隔兩個(gè)月田間調(diào)查一次,得到的田鼠及其天敵種群數(shù)量的記錄,數(shù)量的單位經(jīng)過(guò)處理.試建立合理的數(shù)學(xué)模型.表 田鼠種群數(shù)量記錄29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.

5、2 69.6 39.8 34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.710.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5表 田鼠天敵種群數(shù)量記錄1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2

6、2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9這樣就可求得參數(shù)的近似值.模型參數(shù)求解的程序?yàn)閏lear all,clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7

7、 ...10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1

8、.9 2.3];N=[X;Y];T=[0:2:60];for i=1:30A(i,1)=T(i+1)-T(i);A(i,[2 3])=((T(i+1)-T(i))/2)*[-(N(1,i+1)+N(1,i)),-(N(2,i+1)+N(2,i))];B(i,[1 2])=[log(N(1,i+1)/N(1,i)),log(N(2,i+1)/N(2,i))];end;A1=A(:,[1 3]);P1=inv((A1'*A1))*

9、A1'*B(:,1)A2=A(:,[1 2]);P2=inv((A2'*A2))*A2'*B(:,2)上述結(jié)果代入 Volterra-Lotok 方程,用 MATLAB 函數(shù) ode45 求方程在時(shí)間[0,60]的數(shù)值解.作圖可看到田鼠及其天敵數(shù)量的周期震蕩.求方程 Volterra-Lotok 的數(shù)值解的程序?yàn)槎x函數(shù) vlok 為[vlok.m]function dydt=vlok(T,Y)dydt=[(0.

10、8765-0.5468*Y(2))*Y(1);(-0.1037+0.0010*Y(1))*Y(2)];clear all, clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ...1

11、0.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2

12、.3];N=[X,Y];T=[0:2:60];[t,Y]=ode45(@vlok,[0:0.5:60],[29.7 1.6]);plot(t,Y(:,1)/100,'k');hold on;plot(t,Y(:,2),'-.k');title('田鼠及其天敵的 Volterra-Lotok 模型擬合曲線(xiàn)');xlabel('時(shí)間');ylabel('數(shù)量(只/每百)