理論力學論文

1、1理論力學論文——振子在恒定阻尼下的振動在這學期的理論力學課程中，我們接觸了機械振動基礎，學習了有阻尼情況下的自由振動。教材上指出，當振動速度不大時，由于介質粘性引起的阻力近似的與速度成正比，即 ，這樣的阻尼稱為粘性阻尼或線性阻尼。系數(shù) 稱為粘性阻尼系數(shù)。但是， F cv ? ??? ?c振子在滑動摩擦作用下的運動，雖然十分常見，卻幾乎沒有討論。我認為，其原因可能是滑動摩擦使運動微分方程變得十分復雜。在這種情況下，我嘗試著自己推一推公式

2、，討論一下這個問題。假定一個彈簧振子，由質量為 的物體和勁度系數(shù) 的彈簧組成，置于水平面上。物 m k體和水平面間的滑動摩擦系數(shù)為 。開始，物體對平衡位置的偏離為 ，由靜止釋放。如 ? 0 x圖所示。1． 物體最后靜止時所到達的位置在單自由度系統(tǒng)的強迫振動中，我們曾有靜力偏移 。與之類似，我們定義偏離 0H B k ?（1） 0 00* cmg mg x x x k kx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?其中， ，為一常數(shù)，只

3、與初始條件有關。 也是彈簧的恢復力和摩擦力相等時0mgkx? ? ? c x的偏離。它是與彈簧振子和接觸面有關的量。由功能原理知道，在第一個半周期里，彈簧所損失的勢能等于克服摩擦力所作的功，即 ? ?0 12 20 11 12 2 kx kx mg x x ? ? ? ?（2）m0 x0 t ?k3作用。我們取靜平衡位置 為原點，便可以使方程成為標準的無摩擦情況的微分 cmg x k? ?方程。因此，由（9）的解立即可以寫出：（10）

4、cos ,( 1,3,5 , 0 )cos ,( 2,4,6, , )j j cj j cx A t x j tx A t x j t? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?從至從至2式中， 是相對平衡點的振幅，所以有 j A j j c A x x ? ?由（5）和（1）得出? ? 0 0 0 (1 2 ) 1 2 1 j A j x x x j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5、 ? ?合并（10）中兩式得到（11） ? ? ? ? ? ? 0 0 1 2 1 cos 1jj x x x j t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上式中， ， ， ， 1,3,5 , 0 j t ? ? ? ??? 從至 2,4,6, , j t ? ? ? ? ??? 從至2 2 km? ? ? ? ? ?為運動的周期。上式即為彈簧振子的運動表達式。顯然，如果 ，上式即為簡諧振動 ? ? ?的表達式。此外，由上式看

6、出，振動周期 仍然等于無阻尼情況振子的周期。這是與書 2 mk ? ? ?上的粘性阻尼不同的一點。整個振動時間決定于振動次數(shù)： ， 1 1 1 1, ; 2 4 3 2 t ? ? ? ? ? ? ? ?。 1 1 ; , 2 1 4k t t k k? ? ? ? ? ? ? ?3．總的能量損失物體總的運動路程為：101 2nn j njs x x x??? ? ? ?由（5）得到： ? ? 0 2 1 n s n n x ? ? ?