二次函數(shù)及幾何應(yīng)用(不含相似)含答案

1、3. （2011 江蘇連云港，25，10 分）如圖，拋物線 與 x 軸交于 A，B 兩 2 12 y x x a ? ? ?點，與 y 軸交于點 C，其頂點在直線 y=－2x 上. (1)求 a 的值；(2)求 A,B 兩點的坐標(biāo);(3)以 AC,CB 為一組鄰邊作□ABCD,則點 D 關(guān)于 x 軸的對稱點 D´是否在該拋物線上?請說明理由.考點 考點：二次函數(shù)綜合題。 分析 分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)的求法得出頂點

2、坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)即可求出 a 的 值；（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出與 x 軸的交點坐標(biāo)即是 A，B 兩點的坐標(biāo)； （3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出 D 點的坐標(biāo)，即可得出 D′點的坐標(biāo)，即可得出答 案．解答 解答：解：（1）∵拋物線 y=x2﹣x+a 其頂點在直線 y=﹣2x 上．∴拋物線 y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，∴頂點坐標(biāo)為：（1，﹣+a） ，∴y=﹣2x，﹣+a=﹣2，∴a=﹣；（2）二次函數(shù)解析

3、式為：y=x2﹣x﹣，∵拋物線 y=x2﹣x﹣與 x 軸交于點 A，B，∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1 或 3， A（﹣1，0） ，B（3，0） ；（3）作出平行四邊形 ACBD，作 DE⊥AB，∵二次函數(shù)解析式為：y=x2﹣x﹣，∴圖象與 y 軸交點坐標(biāo)為：（0，﹣） ，∴CO=，∴DE=，∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC，∴△AOC≌△BDE，∵AO=1，∴BE=1， D 點的坐標(biāo)為： （2

4、， ） ，∴點 D 關(guān)于 x 軸的對稱點 D′坐標(biāo)為：（2，﹣） ，代入解析式 y=x2﹣x﹣，左邊=﹣，右邊=×4﹣2﹣=﹣，∴D′點在函數(shù)圖象上．（2011 江蘇蘇州，29，10 分）巳知二次函數(shù) y=a（x2-6x+8） （a＞0）的圖象與 x 軸分別交于點 A、B，與 y 軸交于點 C．點 D 是拋物線的頂點．（1）如圖①．連接 AC，將△OAC 沿直線 AC 翻折，若點 O 的對應(yīng)點 0'恰好落在該拋物線∵點

5、 E(4，4)、F(4，3)與點 B(4，0)在一直線上，點 C 在 y 軸上，∴PBPB．又 PD>PM>PB，PA>PM>PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．∴此時線段 PA、PB、PC、PD 不能構(gòu)成平行四邊形．（Ⅱ）設(shè) P 是邊 FG 上的任意一點(不與點 G 重合)，∵點 F 的坐標(biāo)是(4，3)，點 G 的坐標(biāo)是(5，3)．∴FB＝3， ，∴3≤PBPB．（3）存在一個正數(shù) a，使得線段 PA、

6、PB、PC 能構(gòu)成一個平行四邊形．如圖③，∵點 A、B 時拋物線與 x 軸交點，點 P 在拋物線對稱軸上，∴PA＝PB．∴當(dāng) PC＝PD 時，線段 PA、PB、PC 能構(gòu)成一個平行四邊形．∵點 C 的坐標(biāo)是(0，8a)，點 D 的坐標(biāo)是(3，－a)．點 P 的坐標(biāo)是(3，t)，∴PC2＝32＋(t－8a) 2，PD2＝ (t＋a) 2．整理得 7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．∵t 是一個常數(shù)且 t>3，∴Δ＝4t2－2

7、8>0∴方程 7a2－2ta＋1＝0 有兩個不相等的實數(shù)根 ．2 2 2 4 28 714 7t t t t a ? ? ? ? ? ?顯然 ，滿足題意．2 7 0 7t t a ? ? ? ?∵當(dāng) t 是一個大于 3 的常數(shù),存在一個正數(shù) ，使得線段 PA、PB、PC 能2 77t t a ? ? ?構(gòu)成一個平行四邊形．點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意運用數(shù)形結(jié)合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊

8、形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．5. （2011?江蘇宿遷，27，12）如圖，在邊長為 2 的正方形 ABCD 中，P 為 AB 的中點，Q為邊 CD 上一動點，設(shè) DQ=t（0≤t≤2） ，線段 PQ 的垂直平分線分別交邊 AD、BC 于點 M、N，過 Q 作 QE⊥AB 于點 E，過 M 作 MF⊥BC 于點 F．（1）當(dāng) t≠1 時，求證：△PEQ≌△NFM；（2）順次連接 P、M、Q、N，設(shè)四邊形 PMQN 的面積為 S，求出 S