2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽歷年競賽試題及參考答案

1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會 中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報》杯” “《數(shù)學(xué)周報》杯”2009 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共 一、選擇題（共 5 小題，每小題 小題，每小題 7 分，共 分，共 35 分. 以下每道小題均給出了代 以下每道小題均給出了代號為 號為 A，B，C，D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將

2、正確選 請將正確選項的代號填入題后的括號里 項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得 不填、多填或錯填都得 0 分） 分）1．已知非零實數(shù) a，b 滿足 2 2 4 2 ( 3) 4 2 a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ，則 a b ?等于（ ） ．（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2【答】C．解： 解：由題設(shè)知 a≥3，所以，題設(shè)的等式為 2 2

3、( 3) 0 b a b ? ? ? ? ，于是3 2 a b ? ? ? ， ，從而 a b ? ＝1．2．如圖，菱形 ABCD 的邊長為 a，點 O 是對角線 AC 上的一點，且 OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則 a 等于（ ） ．（A） 5 12? （B） 5 12? （C）1 （D）2【答】A．解： 解：因為△BOC ∽ △ABC，所以 BO BCAB AC ? ，即11aa

4、 a ? ? ，所以， 2 1 0 a a ? ? ? ．由 0 a ? ，解得 1 52 a ? ? ．3．將一枚六個面編號分別為 1，2，3，4，5，6 的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為 a ，第二次擲出的點數(shù)為b ，則使關(guān)于 x，y 的方程組 32 2ax byx y? ? ? ? ? ? ?，只有正數(shù)解的概率為（ ） ．（第 2題）（ ） ．（A）2 組

5、 （B）3 組 （C）4 組 （D）無窮多組【答】C．解： 解：可將原方程視為關(guān)于 x 的二次方程，將其變形為2 2 (2 29) 0 x yx y ? ? ? ? ．由于該方程有整數(shù)根，則判別式 ? ≥0 ，且是完全平方數(shù)．由 2 2 2 4(2 29) 7 116 y y y ? ? ? ? ? ? ? ≥0 ，解得 2 y ≤116 16.57 7 ? ．于是2 y 0 1

6、4 9 16? 116 109 88 53 4顯然，只有 2 16 y ? 時， 4 ? ? 是完全平方數(shù)，符合要求．當(dāng) 4 y ? 時，原方程為 2 4 3 0 x x ? ? ? ，此時 1 2 1, 3 x x ? ? ? ? ；當(dāng) y＝－4 時，原方程為 2 4 3 0 x x ? ? ? ，此時 3 4 1, 3 x x ? ? ．所以，原方程的整數(shù)解為111,4;xy? ? ? ? ? ?223,4;xy? ? ? ? ?

7、?331,4;xy? ? ? ? ? ?443,4.xy? ? ? ? ? ?二、填空題（共 二、填空題（共 5 小題，每小題 小題，每小題 7 分，共 分，共 35 分） 分）6．一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛 5000 km 后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km 后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛 km