小學(xué)奧數(shù)容斥原理之重疊問題一精選例題練習習題含知識點撥

1、7-7-1. 7-7-1.容斥原理之重疊問題 容斥原理之重疊問題 （一） （一）1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容； 2. 掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用．教學(xué)目標 教學(xué)目標知識要點 知識要點一、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算．求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，用式子可表示成： A B ?

2、A ? B ? A B(其中符號“ ”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思；符號“ ”讀作“交”，相當于中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下 : A 表示小圓部分， B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為： A B ，即陰影面積．圖示如下: A 表示小圓部分， B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為： A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A、

3、B 的并集 A B 的元素的個數(shù)，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合 A、B 的元素個數(shù)，然后加起來，即先求 A ? B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去C ? A B (意思是“排除”了重復(fù)計算的元素個數(shù))．1．先包含—— A ? B重疊部分 A B 計算了 2 次，多加了1次；2．再排除—— A ? B ? A B把多加了1次的重疊部分 A B 減去．二、三

4、量重疊問題A 類、 B 類與C 類元素個數(shù)的總和? A 類元素的個數(shù)?B 類元素個數(shù) ?C 類元素個數(shù)? 既是 A 類又是 B 類的元素個數(shù) ? 既是 B 類又是C 類的元素個數(shù)? 既是 A 類又是C 類的元素個數(shù) ? 同時是 A 類、 B 類、C 類的元 素個數(shù)．用符號表示為： A B C ? A ? B ? C ? A B ? B C ? A C ? A B C ．圖示如下：圖中小圓表示 A 的元素的個數(shù)，中圓表示B 的元素的個數(shù)，

5、大圓表示C 的元素的個數(shù)．1．先包含： A ? B ? C重疊部分 A B 、B C 、C A重疊了 2 次， 多加了1次．2．再排除： A ? B ? C ? A B ? B C ? A C重疊部分 A B C 重疊了3次，但是在進行 A ? B ? C ?A B ? B C ? A C 計算時都被減掉了．3．再包含： A ? B ? C ? A B ? B C ? A C ? A B C ．在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈

6、圖(韋恩圖)來幫助分析思考．有：58 ? 37 ? 21(人)．【答案】 21人【鞏固】 【鞏固】四(二)班有 班有 48名學(xué)生，在一節(jié)自習課上，寫完語文作業(yè)的有 名學(xué)生，在一節(jié)自習課上，寫完語文作業(yè)的有 30 人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 20人，語文 人，語文數(shù)學(xué)都沒寫完的有 數(shù)學(xué)都沒寫完的有6 人． 人．⑴ 問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？ 問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？⑵ 只寫完語文作業(yè)的有多少人？ 只寫完語文作業(yè)的有多

7、少人？【考點】兩量重疊問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】⑴ 由題意，有48? 6 ? 42 (人)至少完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作業(yè)都完成的學(xué)生有：30 ? 20 ? 42 ? 8 (人)． ⑵ 只寫完語文作業(yè)的人數(shù)? 寫完語文作業(yè)的人數(shù)-語文數(shù)學(xué)都寫完的人數(shù)，即30 ?8 ? 22 (人)．【答案】 22人【鞏固】 【鞏固】四（1）班有 ）班有 46 46 人，其中會彈鋼琴的有 人，其中會彈鋼琴的有 30 30 人

8、，會拉小提琴的有 人，會拉小提琴的有 28 28 人，則這個班既會彈鋼琴又會拉 人，則這個班既會彈鋼琴又會拉小提琴的至少有 小提琴的至少有 人。 人。【考點】兩量重疊問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 6 題 【解析】至少一項不會的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么兩項都會的至少有 46-34=12 人 【答案】12人【例 【例 44】 如圖， 如圖， 圓 A 表示 表示 1 到 50 5

9、0 這 50 50 個自然數(shù)中能被 個自然數(shù)中能被 3 整除的數(shù)， 整除的數(shù)， 圓 B 表示這 表示這 50 50 個數(shù)中能被 個數(shù)中能被 5 整除的數(shù)， 整除的數(shù)，則陰影部分表示的數(shù)是 則陰影部分表示的數(shù)是 。A B【考點】兩量重疊問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 4 題 【解析】陰影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 這 50 個自然數(shù)中能被 3×5＝15 整除的數(shù)，即 15，

10、30，45 【答案】15，30 ， 45【例 【例 55】 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學(xué)們踴躍報名參加，其中 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學(xué)們踴躍報名參加，其中 有 321 321 人報名參加乒乓球俱樂部， 人報名參加乒乓球俱樂部，429 429 人報名參加了籃球俱樂部，但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有 人報名參加了籃球俱樂部，但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有 50 50 人既報名 人既報名參加了乒

11、乓球俱樂部，又報名參加了籃球俱樂部，還有 參加了乒乓球俱樂部，又報名參加了籃球俱樂部，還有 23 23 人什么俱樂部都沒報名，問該學(xué)校共有 人什么俱樂部都沒報名，問該學(xué)校共有名學(xué)生． 名學(xué)生．【考點】兩量重疊問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4 年級，第 5 題 【解析】 321? 429 ? 50 ? 23 ? 723人 【答案】723人【例 【例 66】 某班共有 某班共有 46人，參加美術(shù)小組的有 人，參加美術(shù)

12、小組的有12人，參加音樂小組的有 人，參加音樂小組的有23人，有 人，有5 人兩個小組都參加了．這 人兩個小組都參加了．這個班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？ 個班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？【考點】兩量重疊問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個人數(shù)，就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù)．根據(jù)包含排除法知，該班至少參

13、加了一個小組 的總?cè)藬?shù)為12 ? 23? 5 ? 30 (人)．所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46 ? 30 ?16(人)．【答案】16人【鞏固】 【鞏固】四年級一班有 年級一班有 45人， 人， 其中 其中 26人參加了數(shù)學(xué)競賽， 人參加了數(shù)學(xué)競賽，22人參加了作文比賽， 人參加了作文比賽， 一 12人兩項比賽都參加了． 人兩項比賽都參加了．班有多少人兩項比賽都沒有參加？ 班有多少人兩項比賽都沒有參加？【考點】兩量重疊問題 【