非局部橢圓方程中的變分問(wèn)題.pdf

1、本學(xué)位論文主要研宄非局部橢圓方程中的兩個(gè)變分問(wèn)題.
　　首先考慮分?jǐn)?shù)階Nirenberg問(wèn)題.此問(wèn)題等價(jià)于球面Sn上非線性方程Pγu= Kun+2r/n-2γ的可解性.這里Pγ是Sn上標(biāo)準(zhǔn)度量g0的2γ(γ∈(0,1))階共形協(xié)變擬微分算子，且K是正的C3函數(shù).此方程具有變分結(jié)構(gòu),但是由于右端臨界指數(shù)的出現(xiàn),Sobolev嵌入沒(méi)有緊性,這是我們?cè)趯ふ遗R界點(diǎn)時(shí)遇到的主要障礙.為了克服這個(gè)困難,我們將采用兩種方法：(1)運(yùn)用無(wú)窮遠(yuǎn)處臨

2、界點(diǎn)理論.為此,我們構(gòu)造能量泛函的一個(gè)擬梯度向量場(chǎng)使得，當(dāng)其流線沒(méi)有進(jìn)入函數(shù)K的有限個(gè)臨界點(diǎn)的鄰域內(nèi)時(shí),沿著下降流線方向Palais-Smale條件成立,這樣就得到一個(gè)Euler-Hopf型方程,再通過(guò)拓?fù)浼僭O(shè)得到具有有限Morse指標(biāo)的正解的存在性.（2)利用Lyapunov-Schmidt約化方法和有限維度理論,在假設(shè)K(x)具有兩個(gè)以上臨界點(diǎn)和其它局部條件時(shí),得到刺狀解的存在性和多重性.
　　然后,我們考慮分?jǐn)?shù)階Choqua