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1、分?jǐn)?shù)階微積分是微積分學(xué)的一個(gè)分支,將整數(shù)階導(dǎo)數(shù)擴(kuò)展到了任意階。在近代復(fù)雜系統(tǒng)的建模問(wèn)題上,分?jǐn)?shù)階微分和積分是公認(rèn)的強(qiáng)有力數(shù)學(xué)工具。對(duì)稱性是力學(xué)系統(tǒng)在對(duì)稱群變換下的不變性,在數(shù)學(xué),物理和工程上有重要的應(yīng)用。本文主要研究了分?jǐn)?shù)階非完整系統(tǒng)的對(duì)稱性及其逆問(wèn)題。
首先,我們研究了分?jǐn)?shù)階非完整 Lagrang系統(tǒng)的Noether’s對(duì)稱性和分?jǐn)?shù)階Noether’s逆問(wèn)題。引入包含時(shí)間和不包含時(shí)間的兩種無(wú)限小群變換,分別給出了分?jǐn)?shù)階非完整
2、Lagrange系統(tǒng)在這兩種無(wú)限小變換下的準(zhǔn)不變性條件。建立了相應(yīng)的分?jǐn)?shù)Noether’s定理和守恒量的形式。研究了在包含時(shí)間變換的無(wú)限小變換下的非完 Lagrang系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether’s逆問(wèn)題。
其次,本文研究了分?jǐn)?shù)階非完整Hamilton系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性和Lie逆問(wèn)題。引入分?jǐn)?shù)階的廣義動(dòng)量,建立了分?jǐn)?shù)階非完整Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,作用在系統(tǒng)上的約束條件,以及約束對(duì)虛位移的限制條件
3、等在無(wú)限小變換下的不變性理論,給出了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階確定方程,分?jǐn)?shù)階限制方程和分?jǐn)?shù)階附加限制方程。既而給出了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性,弱Lie對(duì)稱性,強(qiáng)Lie對(duì)稱性的定義和定理及守恒量的形式。研究了分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性逆問(wèn)題。
最后,我們研究了分?jǐn)?shù)階非完整Lagrang系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性在特殊的無(wú)限小變換下可以直接導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階 Hojman守恒量的問(wèn)題。給出了相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階 Lie對(duì)稱性確定方程,限制方程和附加限制方程。給出了非完整La
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