幾類非線性發(fā)展方程的對(duì)稱群和不變解的研究.pdf

1、本文主要運(yùn)用經(jīng)典李群法,非經(jīng)典李群方法、直接對(duì)稱法和改進(jìn)的CK直接約化方法研究了一些偏微分方程(組),如變系數(shù)五階KdV方程、(2+1)維耦合Burgers方程組、新的非線性五階可積方程,并利用李點(diǎn)對(duì)稱群來(lái)化簡(jiǎn)原方程.并求得了一些新的精確解.重要的是運(yùn)用經(jīng)典李群方法研究了mKdV差分方程的不變性.李群方法應(yīng)用到差分格式研究較少,因此用李群方法研究mKdV差分方程的不變性是本文的創(chuàng)新點(diǎn).
　　在第一章中,運(yùn)用經(jīng)典李群方法研究了變系數(shù)

2、五階KdV方程,之后我們得到相應(yīng)的李點(diǎn)對(duì)稱群、優(yōu)化系統(tǒng)和群不變解.然后對(duì)一些特殊類型的方程給出了一些精確解.
　　在第二章中,利用直接對(duì)稱方法,即用待定系數(shù)法求出((2+1)維Burgers方程組的李對(duì)稱,通過(guò)對(duì)稱得到(2+1)維Burgers方程組的約化方程,再借助輔助函數(shù)的方法對(duì)約化方程進(jìn)行求解,得到了(2+1)維Burgers方程組的一些新的精確解.
　　在第三章中,運(yùn)用改進(jìn)的CK直接方法求得了變系數(shù)五階KdV方程一個(gè)

3、等價(jià)變換,從而得到變系數(shù)五階KdV方程和同種形式的常系數(shù)變系數(shù)五階KdV方程解的關(guān)系.再利用經(jīng)典和非經(jīng)典李群方法對(duì)該變系數(shù)五階KdV方程進(jìn)行約化、求解,根據(jù)解的關(guān)系得到變系數(shù)五階KdV方程的一些新的精確解.
　　在第四章中,運(yùn)用經(jīng)典李群方法,直接對(duì)稱方法求得了一個(gè)新的非線性五階可積方程的李點(diǎn)對(duì)稱群和群不變解,同時(shí)利用級(jí)數(shù)解的方法,得到了一些新的精確解.
　　在第五章中,利用李群方法研究了mKdV差分方程.得到了mKdV微分方

4、程及差分方程的無(wú)窮小生成元的李代數(shù).發(fā)現(xiàn)對(duì)稱不僅保持mKdV微分方程的不變性.同時(shí)也保持了差分方程在均勻正交網(wǎng)格下的不變性.
　　綜上所述,本文的特色是首先把李點(diǎn)對(duì)稱群應(yīng)用到數(shù)學(xué)物理中出現(xiàn)的偏微分方程(組)中去,尤其是差分方程中,并對(duì)方程進(jìn)行約化、求解.然后利用改進(jìn)的CK直接約化方法求出變系數(shù)方程(組)的等價(jià)變換,再根據(jù)這個(gè)等價(jià)變換得到了變系數(shù)方程組的新精確解.最后將李點(diǎn)對(duì)稱群應(yīng)用到差分方程中去,并研究了差分方程的不變性.對(duì)研究實(shí)