時滯微分方程高余維分支的規(guī)范型約化研究.pdf

1、時滯微分方程既依賴于當(dāng)前時間的狀態(tài),又依賴于過去時間的狀態(tài),它往往能夠更加客觀的描述實際問題。時滯微分方程的解映射是在無窮維空間上考慮的,高余維分支現(xiàn)象常常出現(xiàn),而在高余維分支臨界值附近往往伴有復(fù)雜的動力學(xué)行為,時滯微分方程高余維分支的研究對于發(fā)現(xiàn)描述實際系統(tǒng)多樣、復(fù)雜的動力學(xué)行為具有重要的理論和實際意義。
　　本文利用中心流形方法和多時間尺度方法研究了時滯微分方程的高余維分支問題。對于滯后型泛函微分方程和中立型泛函微分方程,針對

2、數(shù)學(xué)研究中多半采用的中心流形方法和工程研究中多半采用的多時間尺度方法,給出了兩者有一致的三次約化規(guī)范型的條件及理論證明。本文的主要工作如下:
　　首先,利用中心流形方法研究了時滯金融系統(tǒng)Hopf-zero分支的規(guī)范型,從高余維分支角度分析了金融系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì),并給出金融學(xué)解釋。從理論上分析出系統(tǒng)臨界點附近會存在穩(wěn)定的不動點和穩(wěn)定的周期解。進一步,利用數(shù)值工具展示了穩(wěn)定的周期解可以大范圍存在;當(dāng)參數(shù)遠(yuǎn)離臨界值時,系統(tǒng)會通過倍周期分

3、支通向混沌;另外,當(dāng)選取相同的開折參數(shù)不同的初始值時,系統(tǒng)會同時存在一個(或一對)穩(wěn)定的小振幅周期軌道和一個穩(wěn)定的大振幅周期軌道。最后,對于上述現(xiàn)象給出了合理的金融學(xué)分析。
　　其次,將多時間尺度方法推廣到多時滯系統(tǒng)的規(guī)范型計算中,利用該方法研究了多時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的三類余維二分支的規(guī)范型。當(dāng)研究以時滯為參數(shù)的多時滯系統(tǒng)時,比起中心流形方法,多時間尺度方法的一個優(yōu)勢是不需要對時滯給出限制條件,因而這里采用多時間尺度方法導(dǎo)出了系統(tǒng)H

4、opf-zero分支、共振和非共振雙Hopf分支的三次約化規(guī)范型。對于Hopf-zero分支和非共振雙Hopf分支,從理論上給出了臨界值附近的完整分支集,并用數(shù)值模擬驗證了理論分析的正確性。對于共振雙Hopf分支,從理論上分析了臨界值附近的部分分支集,數(shù)值模擬周期解的振幅和頻率與理論分析結(jié)果的一致性也驗證了本文對于共振雙Hopf分支給出的規(guī)范型分析方法的有效性。
　　最后,針對滯后型泛函微分方程和中立型泛函微分方程,給出了由中心流