四維流形上的有限群作用.pdf

1、大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文四維流形上的有限群作用姓名：李紅霞申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：博士專(zhuān)業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：劉西民20070301F i n i t eG r o u pA c t i o n s o n 4 - M a n i f o l d sA b s t r a c tI nt h i s d i s s e r t a t i o n ，b yu s i n gt h e S e i b e r g - W i t t e nt h

2、e o r y , e q u i v a r i a n t K —t h e o r y , G - i n d e xt h e o r e m ( G - s i g n a t u r ef o r m u l a ，G - S p i nt h e o r e m ) a n dL e f s c h e t zf i x e dp o i n t sf o r m u l aa n d S O o n ，w e d i s

3、 c u s sf i n i t eg r o u p a c t i o n so n 4 - m a n i f o l d s ．T h e m a i n r e s e a r c hw o r k c o n s i s t so f t h e f o l l o w i n g ：1 ．S m o o t h f i n i t eg r o u pa c t i o n so n4 - m a n i f o l d

4、 s ；2 ．L o c a l l yl i n e a rp s e u d o f r e eg r o u pa c t i o n so ne l l i p t i cs u r f a c e s ．I nC h a p t e r1 ，w e g i v ear e v i e w a b o u t t h eS e i b e r g - W i t t e nt h e o r ya n di t s a p p

5、l i c a t i o n s ，m e a n w h i l ew e a l s o i n t r o d u c et h em a i na c h i e v e m e n t si n t h i sr e s e a r c hf i e l do b t a i n e db ys o m em a t h e m a t i c i a r t s ．I nC h a p t e r 2 ，w eg i v

6、es o m ep r e p a r a t i o n sw i t h a ne m p h a s i so n t h eb a s i ct h e o r yo fS e i b e r g -W i t t e ni n v a r i a n t s ，w ea l s o i n t r o d u c et h et e c h n i q u eo ft h ef i n i t ed i m e n s i o

7、 n a la p p r o x i m a t i o no fS e i b e r 乎w i t t e n t h e o r y , b a s i ck n o w l e d g eo ff i n i t eg r o u pa c t i o n sO i lm a n i f o l d sa n dK - t h e o r y ．I nC h a p t e r 3 ，b yu s i n g t h et e

8、 c h n i q u e o ff i n i t ed i m e n s i o n a la p p r c o d m a t i o n o fS e i b e r g - W i t t e nt h e o r y , t h ee q u i v a r i a n tK - t h e o r ya n ds o m e o t h e rm e t h o d s ，w e s t u d yt h ep r

9、o b l e m o ft o p o l o g i c a lr e s t f i e t i o nw h e nt h e r ea r es m o o t hg r o u p sa c t i n go n S p i n4 - m a n i f o l d ss u c ha st h ea l t e r n a t i n gg r o u pA s ，c y c l i cg r o u pz 6a n ds

10、 y m m e t r i c g r o u p 島w i t ha c t i o n s o fo d dt y p e ，c o n s e q u e n t l yw ei m p r o v eF u r u t a ’S 等t h e o r e mu n d e r t h ec o n d i t i o no fg r o u p a c t i o n s ．I np a r t i c u l a r ，w

11、h e nt h e r ei s a l l a l t e r n a t i n gg r o u pA 5a c t i o no naS p i n4 - m a n i f o l dX ，w eo b t a i n ：I fX i s s m o o t hS p i n4 - m a n i f o l dw i t hn o n - p o s i t i v es i g n a t u r ea n db 1 (

12、 x ) = 0 ，d e n o t e ≈= 一口@ ) ／1 6 a n d m = b 手( x ) ，t h e n2 k + 3 ≤m i f b + ( x ／ ) + b } ( x ／ ) ≠2 時(shí)( ．x ／A 5 ) a n db 手( x ／ ) ≠0 ，w h e r ea n da r e s u b g r o u p so fA sg e n e r a t e db yt h ee l e m e n

13、t s8 = ( { l b a d e ) ∈A 5a n d ≠= ( d 蚴∈A sr e s p e c t i v e l y ．B e s i d e s ，w e g e ts i m p l ee x p r e s s i o no ft h eK - t h e o r yd e g r e ea n dt h eG - i n d e xo ft h ee q u i v a r i a n tD i r a co

14、 p e r a t o r ．A t l a s t ，w ed i s c u s sac o n c r e t ee x a m p l e o ft h ea l t e r n a t i n gg r o u p A sa c t i o no nK 3 s u r f a c e s ．W ea l s os t u d y a l t e r n a t i n g g r o u p A 5a c t i o n s

15、 o nt h eh o m o t o p yS 2 ×S 2 i nt h i sc h a p t e r ．U n d e rs o m ec o n d i t i o n s ．w es i m p l i f yt h eG - i n d e xo ft h eG e q u i v a r i a n tD i r a co p e r a t o rt oI n d 也D x 2a ( X 一2 p ] +

16、 P 4 ) + 6 ( p 2 一P 1 ) ，w h e r e a ，ba r ei n t e g e r s ．F u r t h e r m o r e ，u s i n g t h e s a n l e m e t h o d s ，w es t u d y a l t e r n a t i n g g r o u pA sa c t i o n so n t h ec o n n e c t e ds u m o f

17、n c o p i e so fS 2 x 妒．I nC h a p t e r 4 ，w ea p p l y t h eG - s i g n a t u r ef o r m u l a ，G - S p i n t h e o r e m a n d L e f s c h e t zf i x e dp o i n t sf o r m u l a t o g e t at o t a l l yt o p o l o 百c