Toroidal李（超）代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示的有關(guān)問題.pdf

1、本論文主要研究了幾類Toroidal李(超)代數(shù)及Virasoro李(超)代數(shù)的結(jié)構(gòu)、表示及其相關(guān)的問題． T0roidal李代數(shù)首先是由R．V．Moody，s．Eswara Rao，T．Yokonuma二十世紀(jì)九十年代提出并進行研究的．從此開始，關(guān)于這類代數(shù)的很多結(jié)論就被陸續(xù)研究并得到．本論文前面的部分主要討論了全Toroidal李代數(shù)的泛中心擴張，不可約表示的分類，以及具有有限維權(quán)空間的不可約模的結(jié)構(gòu)，其中包括central

2、 charges不全為零和全為零的情況． 在對Toroidal李代數(shù)的泛中心擴張的研究中，根據(jù)其李運算的特點，利用上同調(diào)的相關(guān)知識給出并證明了扭的T0roidal李代數(shù)的泛中心擴張．對于’roroidal李代數(shù)的不可約可積表示進行分類時，根據(jù)Toroidal李代數(shù)和仿射代數(shù)的密切聯(lián)系，主要利用無扭的(或扭的)仿射代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示的一些重要結(jié)論，分成central charges不全為零或全為零的情況進行詳細(xì)討論，從而得到了To

3、roidal李代數(shù)的所謂的最高(或最低)權(quán)空間，進一步討論了Toroidal李代數(shù)在這個權(quán)空間上的作用，給出元素的具體作用形式，進而得到了權(quán)空間以及整個不可約模的具體結(jié)構(gòu)．在討論的過程中可以看到，Toroidal李代數(shù)這類新興的李代數(shù)，與在無限維李代數(shù)中占有重要位置的仿射代數(shù)的緊密聯(lián)系，以及由結(jié)構(gòu)的不同所導(dǎo)致的不可約表示的分類的重要的不同． 第二章研究了廣義Virasoro-toroidal李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示，主要討論了不可約

4、可積表示的分類．由于廣義Virasoro-toroidal李代數(shù)中的一個直和項一導(dǎo)子代數(shù)D*不同于Toroidal李代數(shù)中的導(dǎo)子代數(shù)D，使得研究方法上也有了很大的不同，并更確切地給出不可約可積模的結(jié)構(gòu)．研究的主要思路也是利用已知的仿射代數(shù)的一些結(jié)論，分別討論central charges是否全為零的情況，得到了所謂的最高(或最低)權(quán)空間，在進一步研究這個權(quán)空間的結(jié)構(gòu)，從而得到整個表示的結(jié)構(gòu)．從研究的過程中可以看到，導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)在整個研

5、究方法上所起的舉足輕重的作用． 在對Toroidal李超代數(shù)的研究中，討論了由基本典型李超代數(shù)(有限維的)得到的Toroida1李超代數(shù)的不可約可積表示．由于Toroidal李代數(shù)研究中用到的重要工具一不變雙線性型，限制在基本典型李超代數(shù)的偶部分時，正定性發(fā)生了變化，我們得到了與Toroidal李代數(shù)相異的結(jié)論：當(dāng)基本典型李超代數(shù)的偶部分至少可以分成兩部分，即為A(m，n)，m≥l，n≥l，B(m，n)，m≥1，n≥1，D(M

6、，N)，m≥2，n≥1，D(2，1；a)，F(xiàn)(4)和G(3)這幾類超代數(shù)時，如果central charges的作用不全為零，則這類Toroidal李超代數(shù)的不可約可積表示一定是平凡的．而當(dāng)central charges的作用全為零時，這類模也具有所謂的最高權(quán)空間．在本論文的最后一章，我們對N=2的Virasoro李超代數(shù)做了一些討論．Virasoro李代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其表示在整個李代數(shù)表示的研究中起著相當(dāng)重要的作用．至今關(guān)于這類代數(shù)已有了

7、相當(dāng)多的結(jié)果．而N=2的Virasoro李超代數(shù)則是近些年由數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家同時提出的一類新的代數(shù)，有著很濃厚的物理背景．對于此類代數(shù)的研究工作才剛剛起步．物理學(xué)家根據(jù)已有的物理模型給出了三類N=2的Virasoro李超代數(shù)．由于這三類代數(shù)之間存在某些聯(lián)系，本文只研究了其中一類： Ramond N=2超共形李超代數(shù)，對其結(jié)構(gòu)和表示都做了一些討論．構(gòu)造了這類李超代數(shù)的中間序列模．相信這些工作對今后研究這類李超代數(shù)的Harish-Chard