Cartan型模李超代數(shù)的若干問題.pdf

1、眾所周知,有限維單模李超代數(shù)的分類是目前亟待解決的主要問題之一。現(xiàn)階段對于典型模李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示已有較深入的結(jié)果,因此研究Cartan型模李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示理論成為主要問題。構(gòu)造新的有限維單Cartan型模李超代數(shù)以及研究已有Cartan型模李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示理論對模李超代數(shù)的分類工作具有很大的幫助。本文構(gòu)造了一族新的有限維Cartan型模李超代數(shù),稱其為特殊奇Contact超代數(shù),證明了它的單性,計(jì)算了維數(shù)公式,確定了它的導(dǎo)子

2、超代數(shù)及一階上同調(diào)群;刻畫了已知有限維Cartan型模李超代數(shù)的自同構(gòu)群;計(jì)算了有限維非限制(特殊)奇Hamilton超代數(shù)以及(特殊)奇Contact超代數(shù)系數(shù)在平凡模中的二階上同調(diào)群;證明了無限維奇Contact超代數(shù)的主濾過在其自同構(gòu)群作用下的不變性;給出了有限維奇Hamilton超代數(shù)的混合積模(由其零階化項(xiàng)的不可約高權(quán)模得到的)不可約的充分條件。具體結(jié)果如下:
　　構(gòu)造了特征p>3域上的一族有限維單Cartan型模李超代

3、數(shù),即,特殊奇Contact超代數(shù):首先給出了特殊奇Contact超代數(shù)的一個線性生成集,并利用這個線性生成集得到了它的一個乘法生成集;利用這個乘法生成集證明了特殊奇Contact超代數(shù)的單性,確定了它的導(dǎo)子超代數(shù)和一階上同調(diào)群(外導(dǎo)子超代數(shù));計(jì)算了特殊奇Contact超代數(shù)的維數(shù);利用維數(shù)公式和一階上同調(diào)群將特殊奇Contact超代數(shù)與已知有限維單Cartan型模李超代數(shù)進(jìn)行比較,證明了特殊奇Contact超代數(shù)是不同構(gòu)于其它七族已

4、知有限維單Cartan型模李超代數(shù)的一族新的單模李超代數(shù)。
　　刻畫了限制Witt超代數(shù),Special超代數(shù),Hamilton超代數(shù)和Contact超代數(shù)的自同構(gòu)群標(biāo)準(zhǔn)正規(guī)列的商列,并利用所得結(jié)果對這些限制Cartan型模李超代數(shù)不可約表示的p-特征標(biāo)進(jìn)行了刻畫。證明了任一已知有限維非限制Cartan型模李超代數(shù)的自同構(gòu)可唯一地?cái)U(kuò)張為無限維Witt超代數(shù)的自同構(gòu)。利用上面的擴(kuò)張,證明了這些有限維Cartan型模李超代數(shù)的自同構(gòu)群

5、同構(gòu)于它的底超代數(shù)(交換結(jié)合超代數(shù))自同構(gòu)群的子群(容許自同構(gòu)群),且該同構(gòu)映射是保持其標(biāo)準(zhǔn)正規(guī)列不變的。
　　研究了有限維(特殊)奇Hamilton超代數(shù)以及(特殊)奇Contact超代數(shù)的二階上同調(diào)群。一方面,證明了奇Hamilton超代數(shù)和奇Contact超代數(shù)的結(jié)合型都是退化的。本文將用到一個基本的事實(shí):若一個單李超代數(shù)不具有非退化的結(jié)合型,則它的系數(shù)在平凡模中的二階上同調(diào)群同構(gòu)于它的系數(shù)在其對偶模中哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)博士

6、學(xué)位論文
　　的一階上同調(diào)群。通過計(jì)算奇Hamilton超代數(shù)和奇Contact超代數(shù)到其對偶模的外導(dǎo)子,證明了它們系數(shù)在平凡模中的二階上同調(diào)群是平凡的。另一方面,給出了特殊奇Hamilton超代數(shù)和特殊奇Contact超代數(shù)具有非退化結(jié)合型的充要條件。本文將用到另一個基本事實(shí):若一個單李超代數(shù)具有非退化的結(jié)合型,則它的系數(shù)在平凡模中的二階上同調(diào)群同構(gòu)于它的斜外導(dǎo)子空間(模)。通過計(jì)算特殊奇Hamilton超代數(shù)及特殊奇Conta

7、ct超代數(shù)的斜外導(dǎo)子,得到了它們具有非退化結(jié)合型時系數(shù)在平凡模中的二階上同調(diào)群。
　　研究了無限維奇Contact超代數(shù)的濾過結(jié)構(gòu):證明了它的主濾過在其自同構(gòu)群作用下不變,利用主濾過不變性對無限維奇Contact超代數(shù)進(jìn)行了分類。在證明濾過不變性時本文采用下面的方法:利用ad-冪零元是自同構(gòu)群不變量以及由某些ad-冪零元決定的子空間是自同構(gòu)群不變量的性質(zhì),證明了無限維奇Contact超代數(shù)的主濾過在其自同構(gòu)群作用下是不變的。