模李代數(shù)不可約表示的若干問題.pdf

1、本文主要利用廣義限制李代數(shù)的概念和性質(zhì)，對模李代數(shù)的不可約表示進行研究，給出了具有三角分解李代數(shù)的廣義限制單模的結(jié)構(gòu)，得到了特征高度大于等于2小于p—2+δLW時Cartan型李代數(shù)L=X（m，n），X=W，S，H的不可約表示。本文也在李群的模表示方面做了一定的研究，利用代數(shù)群模表示的一些結(jié)果，計算了有限辛群Sp（4，3n）的第一Cartan不變量。全文共分四章： 第一章概述了模李代數(shù)及其表示的基本概念和工具，以及各個研究子課題

2、的歷史背景和研究進展現(xiàn)狀。 第二章首先詳細綜述了廣義限制李代數(shù)的概念.其次，對具有三角分解的李代數(shù)L進行討論。給定L的一組有序基BL=B_（）B0（）B+，研究了L的既約包絡(luò)代數(shù)u（）（L），驗證了以下結(jié)果：①對任意h∈B0，有[h，xT]=—δ（h）xT，其中δ=α1+…+αt；②對任意y∈B_以及0≤a≤T，則有degB+[y，Xa]

3、λ≠0，并且（hi—δ（hi））fλ=λifλ，（i=1，2，…，r）。研究了L的廣義限制模，證明了對任意廣義限制L—模都存在極大權(quán)向量，并且它的權(quán)λ滿足λ∈Frpm.于是，對任意λ∈Frpm，令S（λ）：=u（）（L）xTfλyT。證明了：①集合{CXTfλyT|c∈F）是S（λ）中的所有極大權(quán)向量所組成的集合。②對任意λ∈Frpm，S（λ）是單L—模。③對于λ，μ∈互Frpm，S（λ）箋S（μ）當且僅當λ=μ。從而得到本章的一個重要

4、定理：集合{S（λ）|λ∈Frpm}是L的所有廣義限制單模的同構(gòu)類的代表元集。由于目前關(guān)于Cartan型李代數(shù)單模的結(jié)論都是在特征p>3的條件下得到的.注意到，由于Cartan型李代數(shù)是具有三角分解的李代數(shù)，所以上述定理4去掉特征p>3的條件，給出當特征標高度htX=—1時，任意特征p>0的Cartan型李代數(shù)單模的結(jié)構(gòu)。以典型李代數(shù)G2的變形V3G為例，給出了V3G的廣義限制單模同構(gòu)類的代表元集，并且給出了它們的維數(shù). 第三章

5、繼續(xù)利用廣義限制李代數(shù)的定義，研究Cartan型李代數(shù)L=X（m，n），X=W，S，H的不可約表示.首先概述了Cartan型李代數(shù)和本原p—包絡(luò)代數(shù)的定義，說明了Cartan型李代數(shù)是一個廣義限制李代數(shù)，給出了它的本原p—包絡(luò)代數(shù)P（L），證明了P（L）是一個分次李代數(shù).其次，給出非奇異特征標的定義，證明了對于Cartan型李代數(shù)L=X（m，n），X=W，S，H，當特征標高度大于等于2小于p—2+δLW時，特征標X是非奇異的.最后，證明

6、了本章主要定理：若X∈L*是L特征標，且htX=h滿足2≤h

7、tan不變量矩陣C可寫成以下的分塊矩陣形式；有限辛群Sp（4，3n）的第一Cartan不變量C（n）00=（an1+an2+an3+an4+an5+an6+an7+an8+an9）—2（bn1+bn2+bn3+bn4+bn5+bn6+bn7+bn8）+（cn1+cn2+cn3+cn4+cn5+cn6）+6n+3n+2·2n—4，其中α1，α2，α3，α4，α5，α6，α7，α8，α9是多項式x9—73x8+1788x7—17226x6+