李代數(shù)模表示中若干問題的研究.pdf

1、本文研究李代數(shù)模表示理論中的相關(guān)問題.主要考慮了素特征的代數(shù)閉合域上階化Caftan型李代數(shù)不可約模的確定、Verma模的支柱簇的確定，以及秩一的基本Cartan型李代數(shù)冪零軌道的具體構(gòu)造與幾何信息，并由此給出更一般W系列Cartan型李代數(shù)冪零軌道的基本性質(zhì)與特征.同時，就一般限制李代數(shù)的表示，本文從包絡(luò)代數(shù)的本原理想角度，給出了一些新的結(jié)論，具體如下：
　　 1.設(shè)R=(m；n)是一個除冪代數(shù)，L=X(m；n)，X∈{W,S

2、，H]是特征p>O的代數(shù)封閉域F上的階化Cartan型李代數(shù)系列中的廣義Jacobson-Witt代數(shù)或特殊代數(shù)或哈密爾頓代數(shù).在廣義限制李代數(shù)意義下，L的任一單模都唯一對應(yīng)于一個（廣義）特征函數(shù)x.當(dāng)X的高度時，通過引進(jìn)“修正”的誘導(dǎo)模結(jié)構(gòu)，從而賦予誘導(dǎo)模一個所謂的G模結(jié)構(gòu)，進(jìn)而決定了對應(yīng)于X的單模.本文將Skryabin引入的關(guān)于廣義Jacobson-Witt代數(shù)的一類所謂的范疇的表示建立在更加自然的廣義限制李代數(shù)意義下的誘導(dǎo)模的結(jié)

3、構(gòu)上。由此建立的平臺適用于所有四個系列的Cartan型李代數(shù).(1)由此，我們能夠證明在非例外情形下，所有具有上述高度限制條件的X約化不可約模都是從不可約Lo-子模誘導(dǎo)上來的.而例外情形只在X的高度小于1時才可能發(fā)生.在這些例外情形，不可約模的決定主要由沈光宇、胡乃紅等完成，當(dāng)ht(x)=-1時，沈光宇在[66]中決定了WSH型代數(shù)的例外單模，胡乃紅在[25]中決定了K型代數(shù)的例外單模.當(dāng)x的高度為0且X=W，S時，本文借助“修正”的誘

4、導(dǎo)模復(fù)形具體構(gòu)造了例外單模，給出了它們的維數(shù).而對于X的高度為0，X=H的情形，濮燕敏和蔣志洪在[59]中決定了例外單模.對于K型，我們也可引進(jìn)范疇e以及“修正”的誘導(dǎo)表示.但是不像其他三類Cartan型李代數(shù)，我們沒能嚴(yán)格證明“修正”的誘導(dǎo)模落在范疇C里這一斷言，因為K型代數(shù)的階化結(jié)構(gòu)不是從廣義Jacobson-Witt代數(shù)的階化結(jié)構(gòu)繼承下來的.然而通過一些具體的計算，我們猜想此斷言成立，平行于其他三類Cartan型李代數(shù)，我們進(jìn)而猜

5、想當(dāng)P特征函數(shù)X的高度小于時，K型代數(shù)的所有非例外單模都是“修正”的誘導(dǎo)模.根據(jù)張朝文的工作[100]，此猜想在限制K型代數(shù)情形下足成立的f在此需要特別說明：每個型的不可約表示的構(gòu)造需要分別處理。尚無法找到統(tǒng)的公理化辦法）.
　　 2.決定了特征p>3的代數(shù)封閉域上秩一的基本Caftan型李代數(shù)-Witt代數(shù)在自同構(gòu)群作用下的冪零軌道.對比于典型李代數(shù)情形下冪零軌道個數(shù)的有限性，在Witt代數(shù)情形下，有無限個冪零軌道，給出了所有

6、冪零軌道的代表元以及每個軌道的維數(shù)，我們同時也得到Jacobson-Witt代數(shù)有無限個冪零軌道.對于其他Cartan型李代數(shù)，我們猜想有類似的結(jié)論.
　　 3.研究了Caftan型李代數(shù)的支柱簇.對于小Verma模以及具有半單特征的一類模的支柱簇給出了一些描述.
　　 4.給出了有限維限制李代數(shù)的任一不可約模所對應(yīng)的“中心特征”理想在包絡(luò)代數(shù)中所生成的理想的余維數(shù)的一個估計.刻畫了最大維數(shù)的單模所對應(yīng)的本原理想.在簡約