Finsler幾何中的若干問題與二步冪零李代數(shù)的雙極化.pdf

1、本研究涉及Finsler幾何與李代數(shù)兩部分內容。Finsler流形是黎曼流形的推廣。Finsler幾何是對其度量沒有二次限制的Riemannian幾何。(α,β)度量構成了一類很豐富的比較易于計算的Finsler度量,在Finsler幾何中扮演了重要角色。旗曲率是Finsler幾何中最重要的曲率,它是Riemann幾何中截面曲率在Finsler幾何中的延伸。S-曲率與旗曲率之間存在著微妙的互相影響,因此成為Finsler幾何中最重要的非

2、Riemann幾何量之一。關于齊性Finsler流形的研究是首先從鄧少強教授開始的。在本文中,我們首先推導出齊性Finsler空間上(α,β)度量通用的S-曲率公式,然后利用此公式推導出最簡單的(α,β)度量-Randers度量的平均Berwald曲率公式。然后,通過觀察具有迷向S-曲率的(α,β)度量的三階非線性微分方程,我們證明了對任意常值,都存在以此常值為S-曲率的非Randers型的(α,β)度量。李代數(shù)g的雙極化是g的兩個具有

3、共同線形函數(shù)f的極化g±,且滿足g=g++g-。一個李代數(shù)若滿足[g,[g,g]]=0和[g,g]≠0則稱為二步冪零李代數(shù)。本文我們將討論二步冪零李代數(shù)中的一種,海森堡代數(shù)的雙極化,并構造四元數(shù)除環(huán)海森堡代數(shù)的一族雙極化。
　　 本研究主要內容包括：第一章,簡要介紹Finsler幾何,并對其發(fā)展成果稍作回顧；第二章,研究齊性空間上的不變(α,β)度量,給出了它的通用的S-曲率公式,和齊性空間上不變Randers度量的平均Berw