對(duì)球面上的幾個(gè)特殊系統(tǒng)的探討.pdf

1、在這篇論文的第一章預(yù)備知識(shí)中，介紹了周期微分方程的平均方程，判定周期方程周期解的兩個(gè)定理，還介紹了細(xì)焦點(diǎn)的定義以及用形式級(jí)數(shù)法求焦點(diǎn)量的詳細(xì)方法步驟。在第二章中，我們先給出了一個(gè)R3中的多項(xiàng)式系統(tǒng) 8>><>>: _ x = y; _ y = ?x; _ z = 0: 它是球面上平行于赤道的平行流。我們對(duì)其進(jìn)行奇三次擾動(dòng)，擾動(dòng)方程設(shè)為 8>><>>: _ x = P(x; y; z

2、) = y + "P3; _ y = Q(x; y; z) = ?x + "Q3; _ z = R(x; y; z) = "R3: 其中P3;Q3;R3都是x; y; z的實(shí)系數(shù)奇三次多項(xiàng)式。設(shè)擾動(dòng)系統(tǒng)仍以(0; 0;§1)為僅有的兩個(gè)奇點(diǎn)，擾動(dòng)系統(tǒng)為單位球面系統(tǒng)（即x2 + y2 + z2 = 1是它的不變代數(shù)曲面）。我們給出了擾動(dòng)系統(tǒng)為單位球面系統(tǒng)的充要條件，在此條件下，引入變換8><>: x = p

3、1 ? Z2 cos μ; y = p1 ? Z2 sin μ; ?1 < z < 1 z = z: 將三維的球面系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二維平面系統(tǒng) 8<: _ z = "R3; _ μ = Q cos μ ? P sin μ p1 ? Z2 = ?1 + " Q3 cos μ ? P3 sin μ p1 ? Z2 , ?1 + " G: 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一維的周期系統(tǒng)dz

4、 dμ = "R3(z; μ) ?1 + "G(z; μ) = ?"R3(z; μ)?"2 R3G+o("2)， 于是我們利用第一章第一節(jié)中介紹的平均方法分析了球面上的極限環(huán)情況。同 時(shí)我們應(yīng)用中心流形定理，將三維奇點(diǎn)(0; 0;§1)轉(zhuǎn)化為二維奇點(diǎn)(0; 0)來研究， 判定了奇點(diǎn)(0; 0;§1)的性質(zhì)。綜合證明我們得到了定理2.1，球面上存在唯一的 一個(gè)極限環(huán)，且

5、在赤道附近。我們又對(duì)平行流同時(shí)進(jìn)行三次和五次擾動(dòng)，也讓 擾動(dòng)系統(tǒng)是球面系統(tǒng)，應(yīng)用同樣的方法，我們得到了定理2.2，球面上最多出 現(xiàn)3個(gè)極限環(huán)。在第三章中，我們對(duì)球面平行流進(jìn)行一般的2n + 1(n ? 1)次齊次擾動(dòng)，擾 動(dòng)系統(tǒng)設(shè)為8>><>>: _ x(t) = P(x; y; z) = y + " P2n+1; _ y(t) = Q(x; y; z) = ?x + "Q2n+1; _

6、z(t) = R(x; y; z) = "R2n+1: 其中" > 0， P2n+1;Q2n+1;R2n+1 是x; y; z 的實(shí)系數(shù)的2n + 1 次齊次多項(xiàng)式。設(shè) 球面x2 + y2 + z2 = h (> 0) 是擾動(dòng)系統(tǒng)的首次積分，并不妨設(shè)擾動(dòng)系統(tǒng)仍以南 北極點(diǎn)(0; 0;§ph) 為僅有的兩個(gè)奇點(diǎn)，我們研究球面上極限環(huán)的情況。通過歸 納證明，我們得到球面族x2 + y2 + z2 = h(>

7、0)是擾動(dòng)系統(tǒng)首次積分的充要條 件（見引理3.1）。應(yīng)用平均方法，我們推得在球面x2 + y2 + z2 = h(> 0)是擾 動(dòng)系統(tǒng)首次積分的條件下，每個(gè)球面上最多有2n ? 1個(gè)極限環(huán)（見定理3.1）。 對(duì)n = 2; 3的情形，我們分別舉例說明了定理3.1。 第四章，對(duì)R3中的一般奇三次系統(tǒng) 8>><>>: _ x = P(x; y; z) = a1x + a2y + a3z + a

8、4x3 + a5y3 + a6z3 + ::: + a13xyz; _ y = Q(x; y; z) = b1x + b2y + b3z + b4x3 + b5y3 + b6z3 + ::: + b13xyz; _ z = R(x; y; z) = c1x + c2y + c3z + c4x3 + c5y3 + c6z3 + ::: + c13xyz: 設(shè)x2 + y2 + z2 = h2(h > 0)是該系統(tǒng)的

9、首次積分，并不妨設(shè)(0; 0 § h)是系統(tǒng)的奇點(diǎn)，由中心流形定理，我們將三維奇點(diǎn)轉(zhuǎn)化為二維奇點(diǎn)來研究。我們用形式級(jí)數(shù)法求得了奇點(diǎn)的前三階焦點(diǎn)量，分析了球面族上一般奇三次系統(tǒng)奇點(diǎn)的Hopf分叉隨h的變化情況（見定理4.1）。這章我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，在封閉的首次積分曲面族上，Hopf分叉是和h有關(guān)的，而不是無關(guān)的，與我們直覺不一致。第五章，我們給出了形式級(jí)數(shù)法求解前三階焦點(diǎn)量的Maple程序。人們常用Liapunov方法或標(biāo)準(zhǔn)型法求焦