有限域代數(shù)曲線(xiàn)上的碼.pdf

1、本論文共分五章，本文研究的是有限域代數(shù)曲線(xiàn)上的碼.第一章將呈現(xiàn)關(guān)于代數(shù)曲線(xiàn)和代數(shù)函數(shù)域的一些性質(zhì)，然后介紹來(lái)自有代數(shù)曲線(xiàn)上的碼的一些概念. 構(gòu)造具有好的參數(shù)的碼是編碼理論中最重要的問(wèn)題之一，不同的工具和方法諸如代數(shù)數(shù)論、幾何、組合等方法在線(xiàn)性碼的構(gòu)造中被采用.自從Goppa幾何碼的發(fā)現(xiàn)以來(lái)，代數(shù)幾何就已經(jīng)被廣泛用作編碼的工具.本論文中第二章的目的是：將Xing的思想中關(guān)于改進(jìn)Goppa幾何碼的參數(shù)的方法應(yīng)用于具有多個(gè)有理點(diǎn)的Ku

2、mmer覆蓋，從而得到一些9元新碼. 進(jìn)一步地，第三章中介紹一個(gè)改進(jìn)Goppa結(jié)構(gòu)的代數(shù)幾何碼的最小距離下界的一種方法.我們知道聯(lián)系除子D和G的Goppa幾何碼(代數(shù)幾何碼)CL(D，G)是一個(gè)[n，k，d]碼，其參數(shù)具有：k=l(G)一l(G-D)且d≥n-degG，這里l(G)表示有限域上Riemann-Roch向量空間L(G)的維數(shù).上面的值n-degG稱(chēng)為Goppa標(biāo)準(zhǔn)的碼CL(D，G)的最小距離下界.在這一章中，我們應(yīng)

3、用Maharaj的思想，即用顯示基來(lái)表示Riemann-Roch空間的構(gòu)造的思想來(lái)證明：Goppa標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)幾何碼的最小距離下界在某些情形下是可以被顯著改進(jìn).我們用一類(lèi)例子來(lái)展示怎樣導(dǎo)出碼的最小距離下界.第四章的目的是要得到廣義厄米特碼的廣義漢明重量.碼的廣義漢明重量是線(xiàn)性碼的最小距離概念的推廣，線(xiàn)性碼的第一級(jí)廣義漢明重量就是該線(xiàn)性碼的最小距離.線(xiàn)性碼的廣義漢明重量和重量級(jí)是由Wei首先引入的，在他的文章[60]中，他展示了線(xiàn)性碼的重量

4、級(jí)能表現(xiàn)碼在通過(guò)通信信道中的執(zhí)行特性.關(guān)于代數(shù)幾何碼的重量級(jí)的首先引入得歸功于Yang等人的研究[95]，在他們的文章中，主要關(guān)注的是來(lái)自有限域Fq2上的厄米特曲線(xiàn)的代數(shù)幾何碼的情況.在論文中，本文推廣他們的結(jié)果，去考慮來(lái)自有限域Fq2t上的、代數(shù)曲線(xiàn)yq+y=xqt+l上的、代數(shù)幾何碼的廣義漢明重量.本文給出了這類(lèi)碼的重量級(jí)的一個(gè)上界，特別給出了在范圍qt+l+q≤m≤n-qt+l+q+1中的精確的第二級(jí)廣義漢明重量，這里的m是個(gè)制約

5、這些碼的維數(shù)的參數(shù)，n是碼長(zhǎng). 在最后的一章中，本文研究的是一族具有好的漸進(jìn)行為的非線(xiàn)性碼，該線(xiàn)性碼來(lái)自有限域上的代數(shù)曲線(xiàn).在1981年前后，Goppa發(fā)現(xiàn)了基于有限域上的、具有多個(gè)有理點(diǎn)的代數(shù)曲線(xiàn)上的、線(xiàn)性碼的迷人的結(jié)構(gòu)，今天，這些碼就稱(chēng)之為Goppa幾何碼或代數(shù)幾何碼.Goppa結(jié)構(gòu)的幾何碼的一個(gè)令人興奮的結(jié)果就是：著名的Gilbert-Varshamov界能夠被某些合數(shù)階的有限域上的Goppa幾何碼所得到的Tsfasman

6、-Vladut-Zink界所改進(jìn)，例如，在q≥49是個(gè)平方時(shí)候，Gilbert-Varshamov界就可以在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)被顯著地改進(jìn).最近，C.P.Xing又給出了一族來(lái)自有限域代數(shù)曲線(xiàn)上的非線(xiàn)性碼，并在一個(gè)較大的區(qū)間內(nèi)改進(jìn)了Tsfasman-Vladut-Zink界.基于Xing的代數(shù)曲線(xiàn)上的非線(xiàn)性碼的結(jié)構(gòu)，我們選擇一些特別的除子使得Xing的關(guān)于參數(shù)的估計(jì)能被改進(jìn).通過(guò)對(duì)除子類(lèi)數(shù)、高次數(shù)懂得有理除子個(gè)數(shù)和Xing的非線(xiàn)性碼的參數(shù)之間