對(duì)于有限域上橢圓曲線的一些算術(shù)問(wèn)題的研究.pdf

1、由于RSA、橢圓曲線、超橢圓曲線公鑰密碼體制越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，對(duì)于它們的研究也越來(lái)越重要。有限域上橢圓曲線的算術(shù)理論，是(超)橢圓曲線公鑰密碼體制的基礎(chǔ)，其中許多算術(shù)問(wèn)題的研究對(duì)于各類公鑰密碼體制的應(yīng)用具有至關(guān)重要的作用。本文主要是對(duì)其中的兩個(gè)基本問(wèn)題的研究。 超橢圓曲線密碼體制中最核心的問(wèn)題是計(jì)算選取的超橢圓曲線的Jacobian的階和找到Jacobian具有給定階的超橢圓曲線。對(duì)于給定的整數(shù)n，我們經(jīng)常需要知道是否存在Jac

2、obian群階為n的曲線，以便進(jìn)一步構(gòu)造這樣的曲線。由于Jacobian的群階即為該曲線Zeta函數(shù)的分子L多項(xiàng)式在1時(shí)的取值，有必要通過(guò)計(jì)算曲線的Zeta函數(shù)來(lái)研究這一問(wèn)題。在本文第二章，我們利用曲線的覆蓋和分歧理論，得出了虧格為3的曲線的Jacobian與三條橢圓曲線的積同種的限定條件。根據(jù)這一條件，我們可以更快速地計(jì)算出部分曲線的Zeta函數(shù)，進(jìn)而求得曲線的有理點(diǎn)個(gè)數(shù)和Jacobian的群階，從而部分回答前述問(wèn)題。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，我

3、們還首先發(fā)現(xiàn)在F49上存在極大曲線。 在RSA密碼體制中，首先需要找到一個(gè)大的素?cái)?shù)，通常的辦法是隨機(jī)選取一個(gè)大數(shù)n來(lái)測(cè)試其素性，因此高效的素性測(cè)試算法非常重要。橢圓曲線與素性測(cè)試有著密切的關(guān)系，比如ECPP算法和Goldwasser-Kilian算法都是利用了橢圓曲線的算術(shù)性質(zhì)。超奇異橢圓曲線是一類特殊的橢圓曲線，它的一個(gè)算術(shù)性質(zhì)可以用來(lái)刻畫(huà)素?cái)?shù)。本文第三章基于Goldwasser-Kilian算法在環(huán)Zn上研究(普通)橢圓曲線