組合計數(shù)與恒等式.pdf

1、Ramanujan多項式是Ramanujan在他研究冪級數(shù)之逆的時候引入的.在樹的Cayley公式的研究中,Shor發(fā)現(xiàn)了—個對非恰當邊加細的遞推關系式.但他沒有注意到這一遞推關系式和Ramanujan多項式的聯(lián)系.另一方面,Dumont 和Ramamonjisoa用文法對Ramanujan多項式有關的序列進行研究后,得到和Shor相同的結論.非常巧的是,曾江注意到Shor多項式在對其進行參數(shù)替換后可以變成Ramanujan多項式.Sh

2、or還發(fā)現(xiàn)Ramanujan多項式的一個遞歸式(它在曾江的參數(shù)替換下和Berndt-Evans-Wilson遞歸式是一致的),并公開尋求其組合證明.在這篇論文的第一章我們給出Shor遞歸式,或者說是BerndtEvans-Wilson遞歸式的一個雙射證明,從而解決了Shor的公開問題.這樣一個雙射同時給出了最初由Ramanujan給出的一個遞歸式的組合解釋.加權有向合成圖是把加權有向圖的每個頂點替換成一個加權有向圖而得到的圖.我們給出了

3、Kelmans-Pak-Postnikov關于加權有向合成圖的樹容量的計算公式的一個漂亮的組合證明.我們還得到這個公式的一個加細形式.我們注意到兩個對稱的q-恒等式,它們是Gasper和Rahman的著作《Basic Hypergeometric Series》(劍橋大學出版社,1990,第241頁)中的兩個2φ1級數(shù)變換公式的特殊形式.我們利用模2圖的共軛性給出了這兩個q-恒等式以及q-二項式定理的組合證明.更一般地,利用字的模型我們

4、給出一個對稱的關于4φ3級數(shù)的恒等式的組合證明.這個q-恒等式是著名的q-Pfaff-Saalschiitz恒等式的一個對稱推廣.我們還給出Jackson的三個q-恒等式的初等證明.它們是Jackson的Dixon公式有限形式的q-模擬,Jackson的Clausen公式的q-模擬,以及這兩個公式的一個統(tǒng)一推廣.多聯(lián)骨牌是平面上的頂點為格點的一些正方形區(qū)域的連通并集.多聯(lián)骨牌稱為凸的,如果它與任何水平或豎直的直線之交為空或是一條線段.L