分拆等式和q-級數(shù)等式的構(gòu)造性證明.pdf

1、本文主要是用組合的方法(映射與對合)來構(gòu)造性地證明一些著名q-級數(shù)恒等式和分拆恒等式，主要包括：Ramanujan部分v-級數(shù)恒等式，Andrews部分v-級數(shù)恒等式及其推廣，F(xiàn)ine分拆定理，Alladi加權(quán)分拆等式，Ramanujan三階仿v-函數(shù)恒等式及其推廣，Gauss系數(shù)交錯和等式。首先，我們用整數(shù)分拆的語言分別將q-級數(shù)恒等式的兩邊解釋成某類分拆的生成函數(shù)，然后用圖形來表示分拆，再結(jié)合各種組合方法在兩類分拆之間建立一個雙射，

2、或者在同一類分拆中建立一個對合，從而給出q-級數(shù)恒等式的證明。這種方式的證明被稱為構(gòu)造性證明，或組合證明。
　　 本文共分四章。第一章主要介紹分拆和q-級數(shù)理論中的一些基本概念和術(shù)語。然后，介紹兩個經(jīng)典的映射：Sylrester雙射和Franklin對合，這兩個映射開創(chuàng)了構(gòu)造性證明分拆恒等式和q-級數(shù)恒等式的先河。
　　 第二章主要研究Ramanujan和Andrews的部分v-級數(shù)恒等式。Alladi從這兩個等式中分別

3、得到了兩個加權(quán)的分拆等式。利用奇偶序列，Berndt、Kim和Yee給出了Ramanujan等式的組合證明。通過構(gòu)造新的對合φ，我們給出了Ramanujan等式的另一個組合證明。更重要的是，在此對合φ的基礎(chǔ)上，我們構(gòu)造了一個Franklin類型的對合Ψ，這個對合Ψ，可以用來證明Alladi從Ramanujan等式中得到的加權(quán)分拆等式，從而解決了Berndt、Kim和Yee在《組合理論雜志A》中提出的公開問題。此外，這個對合Ψ還可以證明A

4、lladi從Andrews等式中得到的加權(quán)分拆等式和Fine分拆定理。另一方面，我們構(gòu)造了對合Ψ的一個變式γ。利用這個變式γ，我們給出了Andrews等式的直接組合證明，并回答了Andrews在《美國數(shù)學(xué)月刊》上提出的一個公開問題，而且還發(fā)現(xiàn)一個更廣泛的加權(quán)分拆等式。
　　 在第三章中，我們主要研究Ramanujan三階仿v-函數(shù)恒等式及其推廣。Fine是第一個探索三階仿v-函數(shù)與整數(shù)分拆聯(lián)系的人，并且得到了一個關(guān)于三階仿v-函

5、數(shù).f(q)的分拆恒等式。通過構(gòu)造對合，我們給出了Fine分拆恒等式的組合證明。此外，我們還構(gòu)造了另外兩個對合，并得到了兩個分別關(guān)于三階仿v-函數(shù)φ(q)，ψ(q)的分拆恒等式。結(jié)合這三個分拆恒等式，可以證明兩個關(guān)于Ramanujan三階仿v-函數(shù)的經(jīng)典等式。并且，這三個對合還可應(yīng)用到Andrews對Ramanujan這兩個等式的推廣上。
　　 第四章主要研究Gauss系數(shù)交錯和等式。通過研究Alladi對分拆的滑動操作和鉤操作

6、，我們得到了一個聯(lián)系無限制的分拆和部分都是互不相同奇數(shù)的分拆的加權(quán)分拆等式。利用這個加權(quán)等式，可以證明Gauss系數(shù)交錯和等式。此外，還可以給出不可約表示S(1n)在對稱群Sn共軛表示中的重數(shù)k(1n)一個組合解釋，從而回答了Stanley在其專著《計數(shù)組合學(xué)》中提出的一個公開問題的特殊情形。在本章的結(jié)尾，我們介紹Gauss系數(shù)交錯和等式的組合證明。通過變形Gauss等式，Chen、Hou和Lascoux給出了一個組合證明并得了兩個推廣