幾類時(shí)標(biāo)不等式和高階微分方程的振動(dòng)性研究.pdf

1、時(shí)標(biāo)理論最初是從Hilger于1988年把它作為一種能夠用一致方式研究差分和微分學(xué)的理論發(fā)展起來(lái)的．自此許多學(xué)者研究了關(guān)于時(shí)標(biāo)的動(dòng)力不等式理論和積分不等式理論的許多方面．
　　常微分方程解的振動(dòng)性是微分方程解的重要性態(tài)之一．隨著自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的不斷發(fā)展，在許多應(yīng)用問(wèn)題中均出現(xiàn)了微分方程是否有振動(dòng)解存在或者微分方程的一切解是否均為振動(dòng)解的問(wèn)題，它具有非常深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型．近年來(lái)，這一理論在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了迅速的發(fā)展和廣

2、泛的重視．本文利用推廣的Riccati變換、不等式估計(jì)、積分平均技術(shù)及函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)幾類高階非線性微分方程的振動(dòng)性問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到了一些有意義的新結(jié)果．
　　根據(jù)內(nèi)容本文分為以下三章：
　　在第一章中，概述本論文研究的背景和主要問(wèn)題．
　　在第二章中，主要研究如下五個(gè)關(guān)于時(shí)標(biāo)的Pachpatte不等式um(t)≤u0+∫t t0[f(r)um(r)+p(r)]△r+∫t t0f(r)(∫r t0ω(r,s)un(

3、s)△s)△r,um(t)≤u0+∫t t0f{r)um(r)△r+∫t t0f(r)[∫r t0{ω{r,s)un(s)+p(s))△s]△r,um(t)≤u0+∫t t0f(r)um(r)△r+∫t t0g(t)[un(r)+∫r t0ω(r,s)ul(s)△s]△s,um(t)≤α(t)+p(t){∫t t0f(r)um(r)△r+∫t t0f(r)p(r)[∫r t0ω(r,s)un(s)△s]△r},um(t)≤u0+∫t t

4、0f{r)um(r)△r+∫t t0f(r)[∫r t0g(s)un(s)△s]△r+∫t t0f(r){∫r t0g(s)[∫s t0ω(s,ξ)ul(ξ)△ξ]△s}△r,t∈Tk.其中m≥1，m≥n≥l>0，其結(jié)果主要推廣和改進(jìn)了李偉年在中的結(jié)論．
　　在第三章中，我們分兩節(jié)研究了幾類高階非線性微分方程解的振動(dòng)性．第一節(jié)通過(guò)引入一類新函數(shù)φ(t，s，l)，利用廣義的Riccati變換和不等式估計(jì)，給出了高階微分方程[r(t)

5、ψ(x(t))|z(n-1)(t)|α-1z)(n-1)(t)]'+∫bαp(t,ξ)f[x(g(t,ξ))]dσ(ξ)=0,α>0,z(t)=x(t)+q(t)x(t-r),α>0在條件∫∞t0r-1/α(s)ds=∞或∫∞t0r-1/α(s)ds=∞下的新的振動(dòng)性準(zhǔn)則，所得結(jié)論推廣和改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)果．
　　第二節(jié)考慮如下的高階非線性微分方程的振動(dòng)陛[r(t)ψ(x(t))z(n-1)(t)]'+∫bαp(t,ξ)f[x(g