具有黏性阻尼的擬線性波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題.pdf

1、本文研究如下的初邊值問(wèn)題：utt-σ(ux)x-uxxt+δ|ut+p-1ut=μ|u|q-1u，x∈Ω，t＞0，(1)u(0,t)=0，u(1，t)=0，t≥0，(2)u(x，0)=ψ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈-Ω，(3)其中，δ＞0，μ＞0，p≥1，q＞1為常數(shù)，σ(s)為給定的非線性函數(shù)，ψ(x)和ψ(x)為給定的初值函數(shù)，Ω=(0，1)，下標(biāo)x和t分別表示對(duì)x和t求偏導(dǎo)數(shù).方程(1)是一類非線性波動(dòng)方程，它描述由變率

2、類型材料構(gòu)成的黏彈性固體的運(yùn)動(dòng).它也可以作為場(chǎng)方程來(lái)描述彈塑性桿的縱向運(yùn)動(dòng)的Voigt模型.本文分四章：第一章為引言；第二章研究一類具有黏性阻尼的擬線性波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題的局部廣義解和局部古典解的存在性和唯一性；第三章建立一個(gè)新的常微分不等式；第四章利用第三章建立的常微分不等式研究問(wèn)題(1)-(3)解的爆破，并給出了一個(gè)例子.主要結(jié)果如下：定理1假定(1)σ∈Cm(R)，|σ(s)|≤K|s|v，|σ′(s)|≤K|s|v-1等，其中

3、v≥2；(2)ψ∈Hm(Ω)，ψ∈Hm-1(Ω).若4≤m≤min{p+1，q+1}(如果m是奇數(shù)，m≤min{p+2，q+2})，特別地，當(dāng)p=1時(shí)，4≤m≤q+1(如果m是奇數(shù)，m≤q+2)，則初邊值問(wèn)題(1)-(3)存在局部廣義解u(x，t)，它滿足等式∫t10∫Ω{utt-σ(ux)x-uxxt+δ|ut|p-1ut-μ|u|q-1u}h(x，t)dxdt=0，(A)h∈L2(Qt1)，(4)而且初邊值條件在古典意義下成立，其中

4、Qt1=Ω×(0，t1)，解有連續(xù)導(dǎo)數(shù)uxs(x，t)(0≤s≤m-2)，uxst(x，t)(0≤s≤m-4)和廣義導(dǎo)數(shù)uxs(x，t)(0≤s≤m)，uxst(x，t)(0≤s≤m-1)和uxstt(x，t)(0≤s≤m-3).若5≤m≤min{p+2，q+2}，則問(wèn)題(1)-(3)的廣義解是唯一的.若6≤m≤min{p+1，q+1}，則問(wèn)題(1)-(3)有唯一的局部古典解u(x，t)，而且解有連續(xù)導(dǎo)數(shù)uxs(x，t)(0≤s≤m-2

5、)，uxst(x，t)(0≤s≤m-4)，uxstt(0≤s≤m-6)和廣義導(dǎo)數(shù)uxs(x，t)(0≤s≤m)，uxst(x，t)(0≤s≤m-1)，uxstt(x，t)(0≤s≤m-3)，uxst3(x，t)(0≤s≤m-5).定理2設(shè)一正的可導(dǎo)函數(shù)M(t)滿足不等式M(t)+M(t)≥Ct1-r/2(M(t))r+3/4，t≥t1＞0，(5)和M(t)≥-Ft2+M(0)t+M(0)，t≥t1＞0，(6)其中M(0)，M(0)，r＞

6、1，C＞0均為常數(shù)，且F≤-[2/C(1-e-r-1/4)]4/r-1＜0，則存在常數(shù)～T，使得當(dāng)t→～T-時(shí)，M(t)→∞.定理3假定如下條件成立：(1)p=1，q＞1；(2)σ(s)∈C1(R)，sσ(s)≤K∫s0σ(y)dy，∫s0σ(y)dy≤-α|s|γ+1，其中K＞2，α＞0和γ＞1均為常數(shù)；(3)ψ∈H10(Ω)∩Lq+1(Ω)，ψ∈H10(Ω)及E(0)+q-1/2(q+1)[μ(q-1)/2]-2/q-1(δ2/2)

7、q+1/q-1≤-[2/A3(1-e-r-1/4)]4/r-1,其中E(0)=‖ψ‖2-2μ/q+1‖ψ‖q+1q+1+2∫Ω∫0ψx(x)σ(s)dsdx，A3=√A2={(K-2)α23-γ/γ+3}1/2.則問(wèn)題(1)-(3)的廣義解u(x，t)或古典解u(x，t)在有限時(shí)刻～T爆破，即當(dāng)t→～T-時(shí)，‖u(·，t)‖2+∫t0∫Ω|ux(x，τ)|2dxdτ+∫t0∫τ0∫Ω|ux(x，s)|2dxdsdτ→∞.(1)1≤p＜2

8、，q＞p/2-p；(2)σ(s)∈C1(R)，sσ(s)≤K∫s0σ(y)dy，∫s0σ(y)dy≤-α|s|γ+1，其中K＞2，α＞0和γ＞1均為常數(shù)；(3)ψ∈H10(Ω)∩Lq+1(Ω)，ψ∈H10(Ω)及E(0)+1/25(a/ζ)d≤-[2/A3(1-e)-γ-/4]4/γ-1，其中E(0)=‖ψ‖2-2q+1‖ψ‖q+1q+1+2∫Ω∫ψx(x)0σ(s)dsdx，d=(2-p)(q+1)/(a-p)q-p,a=2-p/2(