量子力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性及非經(jīng)典關(guān)聯(lián)的若干問(wèn)題研究.pdf

1、本文主要關(guān)注與兩個(gè)方向,一是量子力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性,二是量子力學(xué)系統(tǒng)中各子系統(tǒng)之間的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)。在第一個(gè)方面,我們研究了在相對(duì)論量子力學(xué)中的若干具有動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性的系統(tǒng),其中涉及描述自旋1/2粒子的Dirac方程和描述標(biāo)量粒子的Klein-Gordon方程,中心對(duì)稱勢(shì)和非中心對(duì)稱勢(shì),平直空間和彎曲空間。另一方面,量子力學(xué)系統(tǒng)中各子系統(tǒng)中的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)在量子信息理論中起著核心作用,本文從各個(gè)角度對(duì)這些非經(jīng)典的關(guān)系進(jìn)行了研究和討論,如糾纏度與

2、其他量子信息基本概念的關(guān)系、糾纏態(tài)的分解形式、多粒子系統(tǒng)中的關(guān)聯(lián)度量、以及將糾纏態(tài)聯(lián)合測(cè)量的幾率展開為定域與非定域部分等等。另外,本文還涉及一些與上述兩個(gè)方面相關(guān)的一些概念。例如,各向同性諧振子的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱群生成元的構(gòu)造與Schwinger表象緊密相關(guān),本文將給出關(guān)于費(fèi)米子Schwinger表象的一些結(jié)果。本文中有結(jié)論表明量子信息理論中的保真度與糾纏度有密切關(guān)系,所以本文也給出一些保真度有關(guān)的研究結(jié)果。主要研究?jī)?nèi)容包括：
　　

3、⑴自旋是被自動(dòng)蘊(yùn)含在Dirac方程中的,這樣原來(lái)在非相對(duì)論情況下氫原子和諧振子的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性會(huì)因?yàn)樽孕莿?dòng)量與軌道角動(dòng)量的耦合而被破壞。這在氫原子系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)著氫原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。近年來(lái),具有相等的矢量勢(shì)和標(biāo)量勢(shì)的Dirac哈密頓量被證明具有一種自旋對(duì)稱性。具體說(shuō)就是其總角動(dòng)量被分為守恒的軌道和自旋部分,這兩部分在形式上是原來(lái)自旋和軌道角動(dòng)量的變形。在2005年的文章[Ginocchio,Phys.Rev.Lett.95,252501(

4、2005)]中,當(dāng)這種形式的Dirac方程中的勢(shì)能為各向同性諧振子勢(shì)時(shí),被證明具有SU(3)動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性。而上述變形后的軌道角動(dòng)量就是這個(gè)SU(3)群的八個(gè)生成元中的三個(gè)。本文中將勢(shì)能為Coulomb形式時(shí)的此類系統(tǒng)稱為具有自旋對(duì)稱性的Dirac氫原子,該氫原子被證明具有SO(4)的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性。而變形的軌道角動(dòng)量在這種氫原子中也是對(duì)稱群的三個(gè)生成元,而另外三個(gè)對(duì)應(yīng)非相對(duì)論情況下Runge-Lenz矢量的生成元在本文中被構(gòu)造出來(lái)。按照與

5、非相對(duì)論氫原子完全相同的程序,可以利用這些生成元及其Casimir算符給出該系統(tǒng)的代數(shù)解法。本文還討論了在Kustaanheimo-Stiefel變換下,具有自旋對(duì)稱性的Dirac氫原子與一個(gè)四維Dirac系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)。該四維系統(tǒng)也是具有相等的矢量勢(shì)與標(biāo)量勢(shì),且勢(shì)能形式為諧振子勢(shì)。
　　 ⑵當(dāng)兩維的Dirac哈密頓量具有相等的矢量勢(shì)與標(biāo)量勢(shì)時(shí),本文仿照三維情況下的結(jié)果構(gòu)造出了這樣兩維系統(tǒng)中守恒的軌道角動(dòng)量。當(dāng)勢(shì)能為Coulomb形

6、式時(shí),該系統(tǒng)被證明具有SO(3)群的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性,而勢(shì)能為諧振子勢(shì)時(shí)為SU(2)群的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性。該證明是通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)系統(tǒng)中的守恒量,并給出其對(duì)易關(guān)系得到的。兩個(gè)系統(tǒng)中的生成元即守恒量和對(duì)稱群的Casimir算子一起可以給出能譜的代數(shù)解法,這與非相對(duì)論情況一致。這些守恒量的非相對(duì)論極限很好地回到大家熟知的非相對(duì)論氫原子與諧振子的結(jié)果。
　　 ⑶以上所討論的Dirac系統(tǒng)在最近的文獻(xiàn)中被證明等價(jià)于相同勢(shì)能下的標(biāo)量粒子,于是本文對(duì)具

7、有相同矢量勢(shì)和標(biāo)量勢(shì)的Klein-Gordon方程進(jìn)行了研究,并考慮了坐標(biāo)空間平直和彎曲時(shí)兩種情況。在平直空間中,當(dāng)該Klein-Gordon方程具有Coulomb勢(shì)時(shí),其對(duì)稱性由SO(3)群描述；當(dāng)勢(shì)能為各向同性諧振子形式時(shí),其對(duì)稱群為SU(2)。同樣在曲率為常數(shù)的彎曲空間中,即兩維的球面空間,勢(shì)能為Coulomb勢(shì)和諧振子勢(shì)時(shí),其守恒量的對(duì)易關(guān)系為SO(3)或SU(2)的一種多項(xiàng)式推廣即所謂的Higgs代數(shù)。這些系統(tǒng)中的守恒量和其對(duì)

8、稱群或代數(shù)的表示可以用于導(dǎo)出系統(tǒng)的能級(jí)。
　　 ⑷從兩維各向同性諧振子出發(fā),本文引出了具有Higgs代數(shù)對(duì)稱性的量子力學(xué)系統(tǒng)的代數(shù)解法,并將其用于兩維Smorodinsky-Winternitz系統(tǒng)。更進(jìn)一步的,本文發(fā)展了前面所述構(gòu)造各向同性Dirac系統(tǒng)守恒量的方法,找到了矢量勢(shì)和標(biāo)量勢(shì)為相同的Smorodinsky-Winternitz勢(shì)的兩維Dirac方程的守恒量。這些守恒量滿足Higgs代數(shù)關(guān)系。按照與非相對(duì)論Smoro

9、dinsky-Winternitz系統(tǒng)的代數(shù)解法完全相同的程序,可以求得該相對(duì)論系統(tǒng)的能量本征值。這是首例Dirac量子力學(xué)系統(tǒng)被證明具有Higgs代數(shù)所描述的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性。
　　 ⑸各向同性諧振子中動(dòng)力學(xué)對(duì)稱群生成元的構(gòu)造與玻色子的Schwinger表象緊密相關(guān)。本文嘗試討論了n組費(fèi)米子算符的Schwinger表象問(wèn)題,并給出了非標(biāo)準(zhǔn)的費(fèi)米子Schwinger表象。具體地,當(dāng)幺正群的維數(shù)n≥3,U(n)的費(fèi)米子表示并不唯一。本

10、文給出了基于n組費(fèi)米子算符,U(n)群表示的普遍結(jié)論。并且進(jìn)一步討論了U(Cmn)群的費(fèi)米子表示。
　　 ⑹在與量子信息基本概念有關(guān)的工作中,本文首先關(guān)注被本文稱為A-保真度的一種保真度定義,其也是兩純態(tài)內(nèi)積往混態(tài)的一種推廣。從qubit的Bloch球的表示出發(fā),本文給出了該保真度在qubit情況下的幾何圖像。并且從中到處傳統(tǒng)的Bures保真度的一個(gè)上界。本文用數(shù)值的方法研究了基于A-保真度定義的量子態(tài)的度規(guī)。在保持qubit情

11、況下幾何圖像的前提下,將A-保真度推廣到N維的保真度定義也被進(jìn)一步討論。
　　 ⑺在最近被報(bào)道的研究[Mintert and Buchleitner,Phys.Rev.Lett.98(2007)1405051和[Zhang et.al.,Phys.Rev.A78(2008)042308]中提出的測(cè)量糾纏度的方案中,被測(cè)量的不是糾纏度本身,而代之以糾纏度concurrence的上下界。本文的研究發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)界可以很直接地利用Bur

12、es的性質(zhì)給出證明。在上述實(shí)驗(yàn)方案中,被測(cè)量的糾纏態(tài)被限制為準(zhǔn)純態(tài),即混亂度很低接近純態(tài)的量子態(tài)。為了討論該實(shí)驗(yàn)方案所能帶來(lái)的最大誤差,本文利用數(shù)值的方法隨機(jī)生成兩qubit系統(tǒng)的密度矩陣,并計(jì)算其在concurrence及其上界張成的兩維坐標(biāo)系內(nèi),而后逐步猜測(cè)并得到給定concurrence時(shí)上界最大的態(tài)。按照同樣的方法,得到了給定concurrence時(shí),下界最小的態(tài)和上下界差值最大的態(tài)。這類態(tài)被本文稱作邊緣態(tài)。
　　 ⑻作

13、為理解高維系統(tǒng)糾纏的一種嘗試,本文提出一種兩qutrit純態(tài)的分解。其形式基于全空間和子空間里的最大糾纏態(tài),具體表示為|ψ>=P1、√3(|00>+|11>+|22>)+P2/√2(|01>+|12>)+p3eiθ|02>。與Schmidt分解類似,任意兩qutrit純態(tài)可以在局域的幺正操作下變換為該形式,其中系數(shù)p1是一個(gè)糾纏不變量。為證明該分解的成立,本文證明該形式態(tài)的糾纏不變量能夠遍歷Schmidt形式態(tài)的糾纏不變量。
　　

14、 ⑼多體系統(tǒng)有著比兩體系統(tǒng)更豐富和復(fù)雜的內(nèi)容,Zhou在其最近發(fā)表的[Zhou,Phys.Rev.Lett.101,180505(2008)]一文中給出了不可約多提關(guān)聯(lián)的定義。該定義基于最大熵原理,導(dǎo)致這種關(guān)聯(lián)度量沒有一個(gè)可以直接計(jì)算的定義式。在上述文獻(xiàn)中,Zhou提出了一個(gè)連續(xù)性方案,可以用于求得n-qubit系統(tǒng)中穩(wěn)定子態(tài)的不可約多體關(guān)聯(lián)。由于注意到,該連續(xù)性方案本質(zhì)是求一個(gè)厄米算符對(duì)應(yīng)最大本征值的本征態(tài)的問(wèn)題,本文發(fā)展了這個(gè)連續(xù)

15、性方案,從而得到了兩族Greenberger-Horne-Zeilinger型n-qutrit量子態(tài)中的不可約多體關(guān)聯(lián)。其中一族中的純態(tài)可以在2體和n體關(guān)聯(lián)之外具有m(2

16、含n體關(guān)聯(lián)的純態(tài)的一種可能的途徑。
　　 ⑽對(duì)一個(gè)兩qubit量子態(tài)進(jìn)行聯(lián)合測(cè)量的輸出結(jié)果的幾率分布,可以按照早年原始文獻(xiàn)[Elitzur,Popescu,and Rohrlich,Phys.Lett.A162,25(1992)]中提出的方案分解為定域和非定域兩部分。其中定域部分即可以被描述為定域隱變量模型幾率分布。本文證明了該分解下定域部分權(quán)重的下界可以用其糾纏度concurrence表示為pmaxL=1-()(ρ)。特別地,