量子力學中的動力學對稱性及非經典關聯(lián)的若干問題研究.pdf

1、本文主要關注與兩個方向,一是量子力學中的動力學對稱性,二是量子力學系統(tǒng)中各子系統(tǒng)之間的非經典關聯(lián)。在第一個方面,我們研究了在相對論量子力學中的若干具有動力學對稱性的系統(tǒng),其中涉及描述自旋1/2粒子的Dirac方程和描述標量粒子的Klein-Gordon方程,中心對稱勢和非中心對稱勢,平直空間和彎曲空間。另一方面,量子力學系統(tǒng)中各子系統(tǒng)中的非經典關聯(lián)在量子信息理論中起著核心作用,本文從各個角度對這些非經典的關系進行了研究和討論,如糾纏度與

2、其他量子信息基本概念的關系、糾纏態(tài)的分解形式、多粒子系統(tǒng)中的關聯(lián)度量、以及將糾纏態(tài)聯(lián)合測量的幾率展開為定域與非定域部分等等。另外,本文還涉及一些與上述兩個方面相關的一些概念。例如,各向同性諧振子的動力學對稱群生成元的構造與Schwinger表象緊密相關,本文將給出關于費米子Schwinger表象的一些結果。本文中有結論表明量子信息理論中的保真度與糾纏度有密切關系,所以本文也給出一些保真度有關的研究結果。主要研究內容包括：
　　

3、⑴自旋是被自動蘊含在Dirac方程中的,這樣原來在非相對論情況下氫原子和諧振子的動力學對稱性會因為自旋角動量與軌道角動量的耦合而被破壞。這在氫原子系統(tǒng)中對應著氫原子光譜的精細結構。近年來,具有相等的矢量勢和標量勢的Dirac哈密頓量被證明具有一種自旋對稱性。具體說就是其總角動量被分為守恒的軌道和自旋部分,這兩部分在形式上是原來自旋和軌道角動量的變形。在2005年的文章[Ginocchio,Phys.Rev.Lett.95,252501(

4、2005)]中,當這種形式的Dirac方程中的勢能為各向同性諧振子勢時,被證明具有SU(3)動力學對稱性。而上述變形后的軌道角動量就是這個SU(3)群的八個生成元中的三個。本文中將勢能為Coulomb形式時的此類系統(tǒng)稱為具有自旋對稱性的Dirac氫原子,該氫原子被證明具有SO(4)的動力學對稱性。而變形的軌道角動量在這種氫原子中也是對稱群的三個生成元,而另外三個對應非相對論情況下Runge-Lenz矢量的生成元在本文中被構造出來。按照與

5、非相對論氫原子完全相同的程序,可以利用這些生成元及其Casimir算符給出該系統(tǒng)的代數(shù)解法。本文還討論了在Kustaanheimo-Stiefel變換下,具有自旋對稱性的Dirac氫原子與一個四維Dirac系統(tǒng)的對應。該四維系統(tǒng)也是具有相等的矢量勢與標量勢,且勢能形式為諧振子勢。
　　 ⑵當兩維的Dirac哈密頓量具有相等的矢量勢與標量勢時,本文仿照三維情況下的結果構造出了這樣兩維系統(tǒng)中守恒的軌道角動量。當勢能為Coulomb形

6、式時,該系統(tǒng)被證明具有SO(3)群的動力學對稱性,而勢能為諧振子勢時為SU(2)群的動力學對稱性。該證明是通過構造兩個系統(tǒng)中的守恒量,并給出其對易關系得到的。兩個系統(tǒng)中的生成元即守恒量和對稱群的Casimir算子一起可以給出能譜的代數(shù)解法,這與非相對論情況一致。這些守恒量的非相對論極限很好地回到大家熟知的非相對論氫原子與諧振子的結果。
　　 ⑶以上所討論的Dirac系統(tǒng)在最近的文獻中被證明等價于相同勢能下的標量粒子,于是本文對具

7、有相同矢量勢和標量勢的Klein-Gordon方程進行了研究,并考慮了坐標空間平直和彎曲時兩種情況。在平直空間中,當該Klein-Gordon方程具有Coulomb勢時,其對稱性由SO(3)群描述；當勢能為各向同性諧振子形式時,其對稱群為SU(2)。同樣在曲率為常數(shù)的彎曲空間中,即兩維的球面空間,勢能為Coulomb勢和諧振子勢時,其守恒量的對易關系為SO(3)或SU(2)的一種多項式推廣即所謂的Higgs代數(shù)。這些系統(tǒng)中的守恒量和其對

8、稱群或代數(shù)的表示可以用于導出系統(tǒng)的能級。
　　 ⑷從兩維各向同性諧振子出發(fā),本文引出了具有Higgs代數(shù)對稱性的量子力學系統(tǒng)的代數(shù)解法,并將其用于兩維Smorodinsky-Winternitz系統(tǒng)。更進一步的,本文發(fā)展了前面所述構造各向同性Dirac系統(tǒng)守恒量的方法,找到了矢量勢和標量勢為相同的Smorodinsky-Winternitz勢的兩維Dirac方程的守恒量。這些守恒量滿足Higgs代數(shù)關系。按照與非相對論Smoro

9、dinsky-Winternitz系統(tǒng)的代數(shù)解法完全相同的程序,可以求得該相對論系統(tǒng)的能量本征值。這是首例Dirac量子力學系統(tǒng)被證明具有Higgs代數(shù)所描述的動力學對稱性。
　　 ⑸各向同性諧振子中動力學對稱群生成元的構造與玻色子的Schwinger表象緊密相關。本文嘗試討論了n組費米子算符的Schwinger表象問題,并給出了非標準的費米子Schwinger表象。具體地,當幺正群的維數(shù)n≥3,U(n)的費米子表示并不唯一。本

10、文給出了基于n組費米子算符,U(n)群表示的普遍結論。并且進一步討論了U(Cmn)群的費米子表示。
　　 ⑹在與量子信息基本概念有關的工作中,本文首先關注被本文稱為A-保真度的一種保真度定義,其也是兩純態(tài)內積往混態(tài)的一種推廣。從qubit的Bloch球的表示出發(fā),本文給出了該保真度在qubit情況下的幾何圖像。并且從中到處傳統(tǒng)的Bures保真度的一個上界。本文用數(shù)值的方法研究了基于A-保真度定義的量子態(tài)的度規(guī)。在保持qubit情

11、況下幾何圖像的前提下,將A-保真度推廣到N維的保真度定義也被進一步討論。
　　 ⑺在最近被報道的研究[Mintert and Buchleitner,Phys.Rev.Lett.98(2007)1405051和[Zhang et.al.,Phys.Rev.A78(2008)042308]中提出的測量糾纏度的方案中,被測量的不是糾纏度本身,而代之以糾纏度concurrence的上下界。本文的研究發(fā)現(xiàn),這兩個界可以很直接地利用Bur

12、es的性質給出證明。在上述實驗方案中,被測量的糾纏態(tài)被限制為準純態(tài),即混亂度很低接近純態(tài)的量子態(tài)。為了討論該實驗方案所能帶來的最大誤差,本文利用數(shù)值的方法隨機生成兩qubit系統(tǒng)的密度矩陣,并計算其在concurrence及其上界張成的兩維坐標系內,而后逐步猜測并得到給定concurrence時上界最大的態(tài)。按照同樣的方法,得到了給定concurrence時,下界最小的態(tài)和上下界差值最大的態(tài)。這類態(tài)被本文稱作邊緣態(tài)。
　　 ⑻作

13、為理解高維系統(tǒng)糾纏的一種嘗試,本文提出一種兩qutrit純態(tài)的分解。其形式基于全空間和子空間里的最大糾纏態(tài),具體表示為|ψ>=P1、√3(|00>+|11>+|22>)+P2/√2(|01>+|12>)+p3eiθ|02>。與Schmidt分解類似,任意兩qutrit純態(tài)可以在局域的幺正操作下變換為該形式,其中系數(shù)p1是一個糾纏不變量。為證明該分解的成立,本文證明該形式態(tài)的糾纏不變量能夠遍歷Schmidt形式態(tài)的糾纏不變量。
　　

14、 ⑼多體系統(tǒng)有著比兩體系統(tǒng)更豐富和復雜的內容,Zhou在其最近發(fā)表的[Zhou,Phys.Rev.Lett.101,180505(2008)]一文中給出了不可約多提關聯(lián)的定義。該定義基于最大熵原理,導致這種關聯(lián)度量沒有一個可以直接計算的定義式。在上述文獻中,Zhou提出了一個連續(xù)性方案,可以用于求得n-qubit系統(tǒng)中穩(wěn)定子態(tài)的不可約多體關聯(lián)。由于注意到,該連續(xù)性方案本質是求一個厄米算符對應最大本征值的本征態(tài)的問題,本文發(fā)展了這個連續(xù)

15、性方案,從而得到了兩族Greenberger-Horne-Zeilinger型n-qutrit量子態(tài)中的不可約多體關聯(lián)。其中一族中的純態(tài)可以在2體和n體關聯(lián)之外具有m(2

16、含n體關聯(lián)的純態(tài)的一種可能的途徑。
　　 ⑽對一個兩qubit量子態(tài)進行聯(lián)合測量的輸出結果的幾率分布,可以按照早年原始文獻[Elitzur,Popescu,and Rohrlich,Phys.Lett.A162,25(1992)]中提出的方案分解為定域和非定域兩部分。其中定域部分即可以被描述為定域隱變量模型幾率分布。本文證明了該分解下定域部分權重的下界可以用其糾纏度concurrence表示為pmaxL=1-()(ρ)。特別地,