帶有次線性可乘白噪音的波方程的隨機吸引子.pdf

1、本文是對帶有次線性可乘白噪音的波方程的隨機吸引子存在性的研究。對隨機動力系統(tǒng)吸引子的研究是現(xiàn)今研究的熱點。早在1994年，Hans Crauel和Franco Flandoli在文獻中系統(tǒng)的介紹了隨機動力系統(tǒng)的一些概念：如隨機動力系統(tǒng)、吸引集、吸收集和全局吸引子，其中全局吸引子是緊的、不變且吸引所有有界集的隨機集；并且指出：如果隨機動力系統(tǒng)存在一個吸收所有有界集的隨機緊集，則此隨機動力系統(tǒng)存在一個全局吸引子。因此要證明隨機動力系統(tǒng)存在全

2、局吸引子只需證明此隨機動力系統(tǒng)存在一個吸收所有有界集的隨機緊集。
　　 通過本文的證明，由上述方程的解產生的隨機動力系統(tǒng)確實存在全局吸引子。本文分為四章：
　　 第一章：介紹隨機動力系統(tǒng)和吸引子的背景，并給出了文中需要用到的一些基礎理論知識。
　　 第二章：詳細敘述了方程的形式。重新定義了一些空間,并指出H0γ1(Ω)與H01(Ω)等價、D(A(?))γ與D(A1+σ2)等價,從而E=H1(Ω)×L2(Ω)與E'

3、=H10(Ω)×L2(Ω)等價,Eσ=D(A21+σ)γ×D(Aσ/2)與Eσ'=D(A1+σ/2)×D(Aσ/2)等價。提出定理2.2.1,說明當初值u(x,τ)=u0(x), ut(x,τ)=u1(x)滿足不同的情況,方程(2.2.1)確實分別在空間E,E1存在惟一的解。最后指出由方程(2.2.1)的解產生一個隨機動力系統(tǒng)(2.3.1)。
　　 第三章：首先證明在E空間中存在吸收集。命題3.1.2假設B是任意的有界集,當定義

4、1.3.8式中的μ充分大,則存在一個隨機半徑ρ(ω)≥0,使得對任意的(u(x,τ),υ(x,τ))T∈B,存在TB(ω)≥0,當-τ≥TB(ω)時,對ω∈Ω幾乎處處成立‖φ(0,θτω；φτ(ω))‖E≤ρ(ω). 其次證明在Eσ空間中存在吸收集。命題3.2.2B是E中的有界子集,對充分大的μ,存在隨機半徑ρ1(ω)≥0使得Φi,Φj,Φk分別滿足：其中σ如(3.2.2)式所示。記D(ω)是空間E中以ρ1(ω)為隨機半徑的開球。因此當

5、σ≥max{1,α,64k12·(1+1/ε)2,16k22(1+1/ε)2,64c1/ε2)時,對任意的(u0,u1+εu0)T∈B,以及負充分大的τ,有： 最后說明在空間E中存在緊的隨機吸引子。 由于Eσ是空間E的緊子空間,則集合D(ω)在空間E中是緊的。則由定理1.3.1,命題3.1.2和命題3.2.2可得： 定理3.2.1當σ≥max{1,α,64k12·(1+1/ε)2,16k22；(1+1/ε)2,64c1/ε2)時,隨機動